Ich habe mir das Buch bestellt. Klingt interessant und müsste mal verständlich dargestellt werden.
Ich melde mich, wenn ich das Buch durch habe.

Sautoys Buch habe ich gelesen.
Ich habe mir das hier bestellt: http://tetraktys.de/einfuehrung-6.html#zehnzahl

"Die Vorsokratiker" von Wilhelm Capelle
Alfred-Kröner-Verlag Stuttgart 2008
9. Auflage
ISBN 978-3-520-11909-4

Das hat schon lange angestanden.

Dass jede gerade Zahl gleich viele gerade und ungerade Zahlen enthält ist klar.
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
In Fall Zehn, wie in allen anderen Fällen ungerader Zahlen, sind ebensoviele gerade, wie ungerade Zahlen enthalten.

"Sodann muss sie die Ersten und Unzusammengesetzten und die Zweiten und zusammengesetzten in gleicher Weise enthalten."

Da ist die Zahl Zehn eine echte Ausnahme!
Eine treffende Bezeichnung ist "Unzusammengesetzt", denn Zwei ist Primzahl, aber zusammengesetzt.
Im Mahthebüchern steht daher meist "alle Primzahlen größer Zwei", dann ist aber die Eins nicht dabei.
Also "die Ersten und Unzusammengesetzten"
Das sind 1,3,5,7
Das sind konstituierende Zahlen auch für das Wasserstoffatom. Daher sind diese Zahlen nicht nur einmalig in der Reihe der Primzahlen, wo sie in dieser Folge nie mehr auftreten, sondern sie sind konstituierend für den Kosmos.

Ich habe diese einfache Struktur damals in meinem Essay (Teil 1, Teil 2, Teil 3) zum Kronkreis bei Raisting kaum beschrieben.



Wenn man die Rauten zählt, sind es außen sieben in einem Drittel des Ringsegments, dann nach innen fünf, drei, eins. Das Ganze wiederholt sich drei Mal.
Dort auch eine mathematische Definition des Begriffs "Natur", als Antinomie der Mengen. Mengen können sich nicht selbst enthalten. Die Natur ist eine Menge, die sich selbst enthält. Daher können wir sie nie begreifen, denn begreifen kann man nur das Begrenzte. Sie hüllt jedoch alles ein und schafft damit Grenzen. So umhüllt die Null etwa die Eins und wird so zur Zehn. So definieren die Theosophen die Zahl Zehn.

3,5,7 ist der einzige Primzahldrilling, den es gibt.
http://www.mathepedia.de/Primzahldrillinge.aspx

Ich schrieb oben:
"Eine treffende Bezeichnung ist 'Unzusammengesetzt', denn Zwei ist Primzahl, aber zusammengesetzt.
Im Mahthebüchern steht daher meist "alle Primzahlen größer Zwei", dann ist aber die Eins nicht dabei.
Also 'die Ersten und Unzusammengesetzten': das sind 1,3,5,7"

"die magnetische Quantenzahl m durchläuft für gegebenes l (2l+1) ganzen Zahlen von -l +l."
https://de.wikipedia.org/wiki/Wasserstof...atische_Details

Für i={0,1,2,3} ist m={1,3,5,7}, das Ganze dann auch für die negativen l.
Mehr kommt im Wasserstoffatom nicht vor, da die höheren Magnetquantenzahlen instabile Orbitale erzeugen.

Die Pythagoreer wussten nichts davon, aber es ist so. Die Pythagoreer mussten es nicht wissen. Sie wussten Dinge, über die menschliche Natur, die uns unbekannt sind. Wesentlich ist, dass diese Zusammenhänge eine universelle Note haben. Das ist der Grund, weshalb diese Zahlen im Wasserstoffatom auftreten. Diese Magnetquantenzahl ist nichts weiter als eine Quantelung der Raumorientierung. Insofern reine Symmetrie. Das ist ihre universelle Note. Etwas flapsig könnte man etwa sagen, es sei kein Zufall, dass der Mensch fünfzählige Extremitäten habe, auch das scheint eine Quantelung in der Symmetrie, so wie diese im Atom vorkommt, wie auch in Blumen und Kristallen. Bei den Kristallen ist das übrigens unmittelbar der Grund.

Die Zahlen 1,3,5,7 sind fundamental für die Musik, denn diese "Unzusammengesetzten" zahlen erzeugen neue Intervallqualitäten. Das zu erklären, würde jetzt zu weit führen, aber wie man sieht, scheint auch die Psyche einer analogen Quantelung zu unterliegen.

Peter Sloterdijk sagt Musik könne eine Alphabetisierung der Seele bewirken. Wenn das so ist, dann den dies Zahlen die Vokale dieser Sprache.

Also die Pythagoreer haben, wie ich meine, schon ein wenig mehr gemeint als Teilereigenschaften, wenn sie von der Zahl und speziell der Zehn sprachen. Natürlich sind die Eigenschaften der Zahlen primär diejenigen ihrer Teilbarkeit. Das ist klar. Sie haben aber noch weitere fundamentale Aspekte. Zwei davon sind Symmetrie und Intervall. Letzteres meint ihre psychische Konstitution.

"Sodann muss sie die Ersten und Unzusammengesetzten und die Zweiten und zusammengesetzten in gleicher Weise enthalten."

"die ersten und Unzusammengesetzten", sind das nicht 1,3,5,7 ?
"die Zweiten und zusammengesetzten ...", sind das 2,4,6,8 ?
Die Acht ist zu klein, weil sie diese nicht enthält. Die Neu würde ausreichen.
Die ist aber nicht zusammengesetzt, wie die geraden Zahlen. Sie hat von beiden etwas und zählt weder zu den Zusammengesetzten noch zu den Unzusammengesetzten .
Die 9 enthält die geraden und Ungeraden nicht in gleicher Weise (1,2,3,4,5,6,7,8,9 fünf ungersde und vier gerade Zahlen) weil sie ungerade ist. Daher kommt als Nächste nur die Zehn in Frage. Damit sind die Bedingungen erfüllt:

"Erstens nun muss sie eine gerade Zahl sein, damit in ihr in gleicher Weise die ungeraden und die geraden Zahlen enthalten sind und nicht solche, die Produkte aus ungleichen Faktoren sind. Denn da stets die ungerade Zahl früher als die gerade ist, wird, wenn nicht die schließende Zahl gerade wäre, die andere mehr haben. Sodann muss sie die Ersten und Unzusammengesetzte und die Zweiten und zusammengesetzten in gleicher Weise enthalten."

Deine Version:
Gruppe I) 10/1 = 10 erste Teiler-Eigenschaft. Jede Zahl ist durch 1 teilbar
Gruppe II) 10/5 = 2 und 10/2 = 5 ohne Rest teilbar
Gruppe III) 10/9 = 1 R 1, 10/7= 1 R 3, 10/3 = 3 R 1 Die Zahlen sind teilerfremd
Gruppe IV) 10/8 = 1 R 2, 10/6 = 1, 10/4 = 2 R 2 beide haben einen gemeinsamen Teiler 2. Sind aber nicht ohne Rest teilbar

Wie werden diese vier Teilbarkeitssituationen dem Zitat zugeordnet.

Aus der "Zahlenlehre des Philolaos von Kroton" über die Zehnzahl.
Überliefert wurde das Zitat aus Jamblichos theologische Zahlenlehre, dort wird berichtet, es habe ein "Büchlein" des Philolaos mit dem Titel "Von den pythagoreischen Zahlen" gegeben, darin werde u.a. Zahlen beschrieben, die sich auf "Vielecke und allerlei Flächengebilde beziehen". Dieses Zitat bezieht sich auf die Zehnzahl und ihre einmaligen Eigenschaften, die sich von allen anderen in besonderer Weise unterscheidet:
"Erstens nun muss sie eine gerade Zahl sein, damit in ihr in gleicher Weise die ungeraden und die geraden Zahlen enthalten sind "
Das ist klar.
"und nicht solche, die Produkte aus ungleichen Faktoren sind."
Caplelle, Wilhelm; Die Vorsokratiker, Kröner, Leipzig, 1935, S. 476

Das ist doch nur so zu verstehen, dass gerade Zahlen vielfache von Zwei sind. Andernfalls wären das ja Quadratzahlen und höhere Potenzen. Von denen käme kleiner 10 nur 4 in Frage. Übersetzt man statt "Produkt" Vielfache, dann wäre der Zusatz erklärlich.

Andernfalls könnte man das so verstehen, dass beide Zahlen einen gleichen Teiler haben. Kleiner Zehn wären das 4,6,8. Das würde den Zusatz erklären. In den Polygonen wären das mehrfach Sterne.

Es müsste dann heißen: "Zahlen die ungleiche Faktoren enthalten", das sind die Teilerfremden (Gruppe III). Zahlen die gleiche Faktoren enthalten, das sind je zwei, die einen gleichen Teiler enthalten. Z.B. 4 und 10 (Gruppe IV). Die sind nicht teilbar, aber sie enthalten einen gleichen Teiler.

Zitat von Philolaos im Beitrag #15

---

Erst mal zum Thema Kreislauf und Vierheit:
Das ist ein komplexes Thema, dem man sich von verschiedenen Seiten annähern kann und auch muss. Selbstverständlich lässt sich ein Kreislauf mit einer x-beliebigen natürlichen Zahl darstellen, siehe n-Eck und Simplex, das ist überhaupt keine Frage.

Aber schauen wir uns zuerst Kreisläufe in der Natur an. Da werden wir in erster Linie mit dem Wechsel einer Polarität und ihrem Auf und Ab konfrontiert, also zwei polare Min-Max-Zustände und ihre dazugehörigen zwei dynamischen Übergänge:

Frühling
Sommer
Herbst
Winter

Neumond
zunehmender Mond
Vollmond
abnehmender Mond

Sonnenaufgang
Mittag
Sonnenuntergang
Mitternacht

oder Kreisläufe im menschlichen Organismus:

Einatmen
Fülle
Ausatmen
Leere

Anspannungsphase = Systole (Kontraktion)
Austreibungsphase
Entspannungsphase = Diastole (Entspannung)
Füllungsphase

Nahrungseinnahme
Sättigung
Ausscheidung
Hunger

…usw…usw…

Diese Vierung entspricht auch einer typischen Wellenbewegung also Wellenberg, Wellental und der dazu gehörigen Auf-Ab-Bewegung zwischen diesen beiden Zuständen, bzw. auch einer Sinuskurve wie oben dargestellt.

Auch das Yin-Yang-Symbol zeigt diesen Kreislauf, zwei polare Punkte, die sich in zwei tropfenförmigen Übergängen befinden, also vier Elemente in einem Kreis, zwei Pole und zwei Übergänge.
Die vier Elemente u.a. in der Hermetik symbolisieren ebenfalls diese Vierung des Kreises, die zudem noch mit den vier Himmelsrichtungen gemäß den vier Tageszeiten verknüpft werden, zwei aktive und zwei passive Pole.

Und genau eine solche Doppelung von An-Aus-Zuständen findet auch in der Divisionstabelle statt, die Doppelung gerader und ungerader Zahlen des X- und Y-n-Strahls zu einem 4er Rhythmus. Diesen 4er Rhythmus kann man durch die Innenwinkelsummen der Polygone und Sternpolygone sehen.
Er ist auch an Hand der Kommawerte zu sehen, wenn man bei Quotient 2 alle Winkelsummen zusammenzählt. Jeder vierte Wert muss ein Kommawert sein.
Und es ist auch zu sehen an der Position der Teilereigenschaften selbst, nämlich an den Rändern der Divisionstabelle wo ab der vier zum ersten mal die letzte Eigenschaft zu sehen ist.

Dieser 4er-Takt ist auch grafisch sichtbar, wie zum Beispiel hier: http://tetraktys.de/geometrie-1.html#ornamentik
Ursache ist auch hier wieder die Doppelung gerader und ungerader Zahlen.

---