#1 Lückenlose Parkettierungen in Ebene und Raum von W.L. 27.09.2016 11:29

Platonische Parkettierung

Darunter versteht man die lückenlose Füllung mit regelmäßigen Polygonen.
In der Ebene ist dies möglich mit Dreiecken, Quadraten und Sechsecken.
Mit regelmäßigen Fünfecken kann eine Ebene nicht mehr lückenlos gefüllt, (parkettiert) werden.

Entsprechend ist eine lückenlose Füllung im Raum mit den beiden platonischen Körpern, die auf fünfzähliger Symmetrie beruhen - Pentadodekaeder und Ikosaeder - nicht möglich.
"Bei periodischen Parkettierungen tritt ein interessantes Phänomen auf: Deren Symmetriegruppen können nur Drehungen um 360°, 180°, 120°, 90° und/oder 60° enthalten (also Elemente der Ordnungen 1, 2, 3, 4 und 6), jedoch keine Drehungen um andere Winkel (d. h. keine Elemente der Ordnungen 5, 7 oder höher). Diesen Sachverhalt, der übrigens auch für „reale“ Kristalle gilt, bezeichnet man als „kristallographische Restriktion“. Die Ordnung 5 ist jedoch bei Quasikristallen möglich, die eine „fast“ periodische Teilung haben."
Wikipedia/Raumfüllung

Hier spielen die beiden Symmetriegruppen 5 und 7 die Rolle des Verbots. Künstlich erzeugte Kristalle können 5-fache Symmetrien haben. In der Natur kommen diese kaum vor.

#2 RE: Lückenlose Parkettierungen in Ebene und Raum von Philolaos 28.09.2016 01:23

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Ein interessantes Thema, dessen philosophische Tragweite hoffnungslos unterschätzt wird. Es ging den antiken Denkern ganz offensichtlich um nichts weniger als die Unterscheidung der Prinzipien von Energie im Raum und Zeit in der Materie, bzw. das "Begrenzte und Unbegrenzte", siehe die Fragmente von Philolaos.
Der Raum als homogene unendliche alles umgebende göttliche Struktur (Kreuz und Sechsstern), der Beginner der Zeit als 5-Eck bzw. Pentagramm, die Individualisierung Gottes, das Stirb und Werde.

Es gibt analog dazu einige weitere Darstellungsarten. Eine davon kann man auf meiner Seite finden:
http://tetraktys.de/geometrie-9.html#fraktale-polygone

Mit den Simplexen in der Divisionstabelle kann man zu gleichen Resultaten und Erkenntnissen kommen.

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