#1 Beziehungen zwischen einfachen ganzen Zahlen, anschaulich gemacht an Polygonen von W.L. 28.09.2016 11:31

Zahlen stehen auf vielfache Weise in Beziehung zueinander. Die ganze Zahlentheorie behandelt nichts anderes und es gibt die unterschiedlichsten Arten, der Darstellung.
Eine recht anschauliche Art, die einfachsten Beziehungen der Teilbarkeit zweier Zahlen darzustellen sind Polygone und ihre Diagonalen.

Die einfachste Situation liegt vor, wenn zwei ganze Zahlen teilbar sind. Beispiel: 2 und 6 sind teilbar, denn 6/2=3
Genauer hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Teilbarkeit

Man kann die Situation nun auf einfache weise durch ein regelmäßiges Sechseck (regelmäßiges Polygon mit sechs Ecken) sichtbar machen.



Die beiden Dreiecke fügen sich in das Sechseck und man könnte dies als Rechenoperation 3 x 2 anschreiben. Aber ebenso fügen sich drei Geraden in ein Sechseck, die Operation lautet dann 2 x 3. Farbig geschrieben sind die Zahlen, die als Geometrie dargestellt sind. Zuerst zwei Dreiecke (grün), dann drei Geraden (rot). Die Anzahl dieser Objekte ist schwarz geschrieben. Der Stern aus drei Geraden und die beiden Dreiecke sind zwei unterschiedliche Dinge. 2 x 3 ist in diesem Fall nicht gleich 3 x 2. Links und rechts des Gleichheitszeichens steht nicht das Gleiche und daher kann man beide Seiten nicht vertauschen. Die Vertauschungsregel gilt aber bei ganzen Zahlen und heißt, Kommutativgesetz (lat. commutare „vertauschen“), auf Deutsch Vertauschungsgesetz. Die mathematische Formulierung:

In der Gruppentheorie ist die Diedergruppe Dn die Isometriegruppe eines regelmäßigen Polygons in der Ebene. Die Gruppe enthält 2n Elemente, nämlich n Drehungen und n Spiegelungen. Sie ist für n > 2 nicht-abelsch [das Kommutativgesetz gilt nicht]. Ihr Name leitet sich vom Wort Dieder (Silbentrennung: Di-eder, Aussprache [diˈeːdər]) (griechisch: Zweiflächner) für regelmäßige n-Ecke ab.
https://de.wikipedia.org/wiki/Diedergruppe

Dennoch kann man mit den Innenlinien (Diagonalen) in einem regelmäßigen Polygon das kleinste gemeinsame Vielfache (KGV), zweier Zahlen ermitteln. Man kann sehen, ob eine Zahl als Polygon dargestellt, zu einer anderen (als Diagonalzug dargestellt), teilbar ist oder ob es eine Primzahl ist. Man sieht sogar, ob zwei Zahlen lediglich einen gemeinsamen Teiler haben, wie z. B. 10 und 4.
Es gibt vier Situationen:
1. Zwei Zahlen haben keine der folgenden drei Beziehungen. Das gilt nur für die Zahl Null -> Die Null, ein Rätsel
2. Zwei Zahlen ist Primzahlen Z. B. 5 und 2
3. Eine Zahl ist durch eine Zweite teilbar. Z. B. 6 und 3
4. Zwei Zahlen haben lediglich einen gemeinsamen Teiler. Z. B. 10 und 4

Sehr anschaulich und in einer ungewöhnlichen und sehr interessanten Weise wurde das Thema hier behandelt.
http://tetraktys.de/einfuehrung-1.html

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