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#1 Tetraktys, Diskussionen von W.L. 22.06.2017 09:26

Tetraktys, "Quelle der ewig strömenden Natur"

#2 RE: Tetraktys, Diskussionen von Philolaos 23.06.2017 02:22

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W.L. Sehr schön, die Musiktheorie ist ein wichtiger Zugang zur Pythagoreischen Tetraktys, da die Musik diese Vierheit für die Seele unmittelbar erfahrbar macht.

Der "Quell der ewig strömenden Natur" erschließt sich mir aber vorrangig über die Systematik im vollen Kreisbogen und den daraus resultierenden Teilereigenschaften, Analog zur Metapher von den Kreisläufen in der Natur, Wellenformen usw... also die Sache mit den Polygonen und Sternpolygonen, siehe auf tetraktys.de

In den letzten Tagen habe ich ein interessantes Strukturschema für die Tetraktys entdeckt, die Kleinsche Vierergruppe, ein Teilgebiet in der Gruppentheorie:
https://de.wikipedia.org/wiki/Kleinsche_Vierergruppe

Zitat Wikipedia:
"Die Kleinsche Vierergruppe operiert auf einer Trägermenge der Mächtigkeit (Kardinalität) 4 und hat vier Elemente:
1, a, b, ab
von denen 1 das neutrale Element ist. Deren (interne) Verknüpfung von zwei Elementen ergibt wieder eines der vier Elemente – bei vertauschter Reihenfolge der jeweils verknüpften Paare das gleiche Resultat (Kommutativgesetz), bei (zweistelliger) Verknüpfung eines Elementes mit sich selbst je das neutrale Element...."

Die vier Elemente dieser Kleinschen Vierergruppe entsprechen den vier Elementen der Tetraktys, also der Zahl und ihren drei Teilereigenschaften:
1. = 1 Die Zahl
2. = a ist teilbar
3. = b ist nicht teilbar
4. = ab ist nicht teilbar, hat aber einen gemeinsamen Teiler

Ungerade Zahlen sind direkt mit dem ersten Halbkreis (Drehung) und gerade Zahlen mit dem zweiten Halbkreis (Spiegelung) verknüpft. Das ist eine ziemlich kniffelige Sache, da man sich parallel mehrere Szenarien vorstellen muss. Diese Vierung der Teilereigenschaften hat mit der Doppelung gerader und ungerader Zahlen zu tun.

Man stelle sich gedanklich einen beliebigen Eckpunkt in einem n-Eck auch "Nullpunkt" vor, der als Drehachse einer Gerade dient, die sich als Diagonale in Richtung Mittelpunkt des n-Ecks bewegt. Wenn der Mittelpunkt erreicht ist, wird das n-Eck in zwei Teile geteilt. Man kann sich das bei einem „Unendlich-Eck“ auch als Kreisdurchmesser vorstellen. Dieser entspricht dem Quotient 2, ein Linienstern. Bis dahin können Zahlen theoretisch in ganze Zahlen geteilt werden, also z.B. 24 durch 12.
Betrachtet man also den Mittelpunkt des n-Ecks, ist eine halbe Umdrehung vollzogen. Betrachtet man aber den eigentlichen Drehpunkt an der Kreispheripherie, so haben wir nur eine Viertelkreis-Drehung, ein rechter Winkel. Nur innerhalb dieses rechten Winkels (vierter Teil des großen Kreises, halber Teil des kleinen Kreises) sind Zahlen in ganze Zahlen teilbar.
Diese Vierung ist schon mal interessant!
Überschreitet jetzt diese Diagonale den rechten Winkel bei Quotient 2, so spiegeln sich alle Sternfiguren bis die volle Kreisumdrehung des n-Ecks erreicht ist, die eigentliche Drehachse beschreibt hier aber nur einen halben Kreis, das ist Quotient 1 .
Wenn sich jetzt diese eigentliche Drehachse an der Pheripherie noch einen viertel Kreis weiter dreht, so stehen wir auf dem Quotienten 1/2, dreht sich die Gerade noch einen viertel Kreis weiter, so kommen wir auf den Quotienten Unendlich. Damit ist der eigentliche volle Kreisbogen erreicht!
Es handelt sich also genau genommen um zwei Kreise nebeneinander, oder ineinander verschränkt. Und wenn man jetzt diese Sternfiguren in die Divisionstabelle einträgt, dann kann man genau diese Struktur nachvollziehen. Die Tabelle weist die selbe Vierteilung auf, selbstverständlich mit den selben strukturbildenden Quotienten, also: 2, 1 und 1/2.
Bis 2 sind Zahlen in ganze Zahlen teilbar.
Bis 1 ist die Spiegelung dieser Abfolge von Sternfiguren.
Bis 1/2 ist Drehung und Spiegelung zusammen.
Bis Unendlich also Teilerzahlenstrahl ist die unendliche Wiederholung von Drehung und Spiegelung.

Oder:

Unendlich groß (Zahlenstrahl als neutrales Element)
2
1
1/2
Unendlich klein (Teiler-Zahlenstrahl als neutrales Element)

Bei einer vollen Kreisumdrehung schließen sich dann "Unendlich groß" und "Unendlich klein“ zu einer Einheit:



Drehachse ist Quotient Null, die Drehbewegung beginnt rechts bei Unendlich (das neutrale Element, der Zahlenstrahl) in Richtung Quotient 2

Wir haben also zwei Spiegelungen der zwei Achsen:
1 und unendlich (unendlich sind die 2 Zahlenstrahle)
2 und 1/2
Und eine Drehung, nämlich vom Nullpunkt des n-Ecks ausgehend bis 1. Denn wir haben ja nur zwei Kreise, die miteinander in Beziehung stehen, nicht vier! Somit haben wir auch nur eine Drehung von 180 Grad also 1 durch 2
Diese zwei Kreise entsprechen diesem länglichen Viereck der Kleinschen Vierergruppe.
Es gibt also eine direkte Verbindung zu den vier Teilereigenschaften mit der Vierung des Kreises.

1. = 1 Die Zahl das neutrale Element
2. = a ist teilbar
3. = b ist nicht teilbar
4. = ab ist nicht teilbar, hat aber einen gemeinsamen Teiler – die Materie, die Synthese von a und b

Auch interessant: Die Tetraktys von Herder bezieht sich ebenfalls auf:
1. Axiom
2. These = a
3. Antithese = b
4. Synthese = ab

"Dies Vierfache ist ein Actus der Seele;
wer diese Tetraktys trennt,
vernichtete das Wesen
des menschlichen Verstandes".

#3 RE: Tetraktys, Diskussionen von W.L. 23.06.2017 11:00

Es bekommt durch die kantschen Kategorien den Status des Beweisbaren. Insofern ist Herders Zitat nicht rätselhaft, sondern die Schlussfolgerung aus Kants Kathegorien
Die kantschen Kategorien

Herder kannte Kants Werk und hat dazu, wie Du ja weißt, eine Metakritik geschrieben.
Ich zitiere:
Herder weist dabei auf die starken Parallelen zwischen der Tetraktys und der Kabbala (zehn Sephirot in den vier Welten) hin. Das Sephiroth-Schema des kaballistischen Baumes wird von Herder seinem viergliedrigen Kategorienschema gegenübergestellt, welches er durchaus dem symbolphilosophischen Arsenal der pythagoreisch-platonischen Tradition gleichstellt bzw. entnommen hat. Der Sepher Jezirah, das "Buch der Schöpfung" in der Kabbala und die pythagoreische Tetraktys sind ohnehin zwei Seiten der gleichen Medaille. Beide beanspruchen für sich, das Grundprinzip der göttlichen Schöpfung zu sein, und beiden liegt ein viergliedriges System zugrunde, welches in einer Zehnheit gipfelt.

Johann Gottfried Herder war nicht der Erste, der die Wesensgleichheit beider Systeme erkannte. Schon Johannes Reuchlin verglich in seinem 1494 erschienenen Werk De verbo mirifico (Über das Wunder wirkende Wort) das Tetragramm, das den Gottesnamen JHWH darstellt, mit der Tetraktys.

Studie über Johann Gottfried Herders Werk: Metakritik zur Kritik der reinen Vernunft, Leipzig 1799 "Heilige Tetraktys, Herders metakritische Hermetik" von Florian Mayr Novalis-Verlag (10. Oktober 2006) ISBN-10: 3907260406 ISBN-13: 978-3907260401

Quelle: http://freimaurer-wiki.de/index.php/Tetraktys

"Dies Vierfache ist ein Actus der Seele;
wer diese Tetraktys trennt,
vernichtete das Wesen
des menschlichen Verstandes".


Interessant ist in diesem Zitat der Bezug zwischen "Seele" und "Verstand"
Der vierfache Actus ist also die Bewegung, der Akt der Seele und dieser Akt äußert sich durch die tranzendentalen Prinzipien, wie man die kantschen Kategorien auch nennt.
Die ist eine der weißen Flecke in Kants Werk. Kant hat sich nicht dazu geäußert, was diese Transzendenz, die er bewiesen hat, eigentlich ist oder woraus sie entspringt.
Fichte und Hegel haben daraus ihre Transzendentalphilosophie entwickelt. Sie ist weitgehend identisch mit der Vedantaphilosophie und daher zeitlos gültig.

Johann Gottlieb Fichte hatte erkannt, dass diese tranzendentalen Prinzipien dem Wesen des innersten Menschen entspringen. Er nennt es ICH.
Dabei meint er nicht das was wir Person nennen. Also alles was dem Ich anhängt, wie seine Geschichte, Name, Rang, Besitz und Geschlecht, all das gehört nicht zum Wesen des Menschen, zum ICH.

Aus diesem Ich entspringt die Welt, wenn es erwacht und bewusst wird. Zuerst wird der Raum und die Zeit erschaffen. Und zwar in dem ersten Akt der Unterscheidens zwischen Ich und Nicht-Ich.
Daraus entspringen Raum und Zeit, sowie die ersten Kategorien, wie z.B. die Realität. Da der Raum nun geteilt ist, zwischen Ich und Nicht-Ich, ist auch die Kategorie der Quantität geboren. Alles, Eines und Einige. Alles ist das, was das Ich umgibt. Eines ist das Ich und Einiges ergibt sich aus dem dialektischen Bezug.

Fichte zieht nun einen radikalen Schluss. Er sagt, weil die Erkenntnis aus der Transzendenz kommt, wie Kant bewies und weil wir ohne diese nichts erkennen können, ist die Welt ein Produkt des menschlichen Geistes. Der Mensch "wirft die Welt aus sich heraus".

Das ist reine Advaita Philosophie und ist tausende Jahre alt.

Wie? die Welt, alles was wir anfassen und erkennen können, der Schmerz, das Leid, die Freude, alles soll nur aus dem Menschen selbst kommen?

Diese Aussage war zu radikal um noch verstanden zu werden. Man hat Fichte daher sehr angegriffen und selbst sein Lehrer Kant hat sich davon distanziert.

Dabei ist Fichtes Ansatz später von Hegel aufgegriffen und weiter entwickelt worden. Hegel was so streng in seiner Philosophie, dass man ihn nicht mehr angreifen konnte. Hegel ist in der Philosophie überaus bedeutend.

#4 RE: Tetraktys, Diskussionen von Philolaos 23.06.2017 11:19

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Genau, ja klar Kant sollte ich nicht unterschlagen, wenn ich Herder erwähne... absolut.
Ich sehe den aktiven Verstand als Drehung, und die passive Seele als Spiegelung.

Noch mal zu Drehung und Spiegelung:
Eigentlich habe ich den wichtigsten Abschnitt im Wikipediaartikel gar nicht erwähnt, er beginnt hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Kleinsche_...ruppe#Auftreten
Also:
1. Neutrales Element
2. Spiegelung des horizontalen Kreuzbalkens
3. Spiegelung des vertikalen Kreuzbalkens
4. Drehung um 180 Grad (kombinierte horizontale und vertikale Spiegelung)

#5 RE: Tetraktys, Diskussionen von W.L. 23.06.2017 11:27

"Dies Vierfache ist ein Actus der Seele;
wer diese Tetraktys trennt,
vernichtete das Wesen
des menschlichen Verstandes".

Das Vierfache ist ein Actus der Seele.
Anders gesagt, wenn die Seele sich bewegt, kann sie dies nur in der vierheitlichen Struktur. Wenn sie dies tut, so äußert sie sich als Erkennender, als Mensch mit Intellekt.
Der Verstand ist also eine Erscheinungsform, der Seele. Die Seele erscheint als Verstand, wenn sie in Aktion tritt, wenn sie sich bewegt.

Hier wird Seele zu dem was wir eigentlich Geist nennen. Eine Unterscheidung macht da kaum Sinn.
Es ist wie die Luft. Wenn sie in einen Raum eintritt, nimmt sie kubsiche Gestalt an.
Ich erinnere an das Gleichnis aus dem NT:

1 Es war ein Pharisäer namens Nikodemus, ein führender Mann unter den Juden.1
2 Der suchte Jesus bei Nacht auf und sagte zu ihm: Rabbi, wir wissen, du bist ein Lehrer, der von Gott gekommen ist; denn niemand kann die Zeichen tun, die du tust, wenn nicht Gott mit ihm ist.
3 Jesus antwortete ihm: Amen, amen, ich sage dir: Wenn jemand nicht von neuem geboren wird, kann er das Reich Gottes nicht sehen.2
4 Nikodemus entgegnete ihm: Wie kann ein Mensch, der schon alt ist, geboren werden? Er kann doch nicht in den Schoß seiner Mutter zurückkehren und ein zweites Mal geboren werden.
5 Jesus antwortete: Amen, amen, ich sage dir: Wenn jemand nicht aus Wasser und Geist geboren wird, kann er nicht in das Reich Gottes kommen.
6 Was aus dem Fleisch geboren ist, das ist Fleisch; was aber aus dem Geist geboren ist, das ist Geist.
7 Wundere dich nicht, dass ich dir sagte: Ihr müsst von neuem geboren werden.
8 Der Wind weht, wo er will; du hörst sein Brausen, weißt aber nicht, woher er kommt und wohin er geht. So ist es mit jedem, der aus dem Geist geboren ist.3
9 Nikodemus erwiderte ihm: Wie kann das geschehen?
10 Jesus antwortete: Du bist der Lehrer Israels und verstehst das nicht?
11 Amen, amen, ich sage dir: Was wir wissen, davon reden wir, und was wir gesehen haben, das bezeugen wir, und doch nehmt ihr unser Zeugnis nicht an.
12 Wenn ich zu euch über irdische Dinge gesprochen habe und ihr nicht glaubt, wie werdet ihr glauben, wenn ich zu euch über himmlische Dinge spreche?
13 Und niemand ist in den Himmel hinaufgestiegen außer dem, der vom Himmel herabgestiegen ist: der Menschensohn.


Die Frage ist, was ist die Gestalt, Antwort: Tetraktys
Tetraktys wird so zur Grundstruktur der Welt. Welt im Sinne dessen, was der Mensch erkennen kann.
Man kann nun auch zum Begriff des Logos wechseln. Logos und Tetraktys sind ein und dasselbe. Zumindest der des Johannesprologs, der ist vierheitlich, wie ich in meinem Buch gezeigt habe.

#6 RE: Tetraktys, Diskussionen von Philolaos 23.06.2017 11:37

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Ja, das ist eine vielschichtige Angelegenheit.... ich bin damit auch noch lange nicht fertig, weil die Position des Betrachtungswinkels sehr verwirrend ist und man sich außerdem auch noch entscheiden muss, ob man einen Kreis oder zwei zu Grunde legt. man kann auch sagen:
Die erste halbe Drehung ist die aktive "Sonnenseite" = ungerade Zahlen
Die zweite halbe Drehung ist eine Spiegelung, die "Mondseite" = gerade Zahlen, alle spezifischen Sternfiguren der Teilereigenschaften ("Spiel des Lebens") spiegeln sich hier, laufen wieder rückwärts ab.

Man muss die Komplette Systematik mit all ihren in sich logisch konsistenten Zuordnungen betrachten, das ist nicht einfach.

Also Sonne wäre dann der Verstand und Mond die Seele.

#7 RE: Tetraktys, Diskussionen von W.L. 23.06.2017 11:41

"Was aus dem Fleisch geboren ist, das ist Fleisch; was aber aus dem Geist geboren ist, das ist Geist."

Was aus dem Geist geboren ist das ist Geist. Kant nennt es "Transzendenz", Fichte "ICH"

Der Mensch ist also in zwei Welten zuhause. Er ist Tier und ein Kind der Natur, die wir sinnlich erkennen. Er ist aber auch Geist und Transzendenz.
Um sie anders zu erkennen als in der Funktion unseres Intellekts muss man, wie im NT steht neu geboren werden.

Diese Neugeburt ist eine Metapher für das was die Buddhisten als meditative Praxis pflegen und was die Alchimisten VITRIOL nannten:
"Visita Interiora Terrae Rectificando Invenies Occultum Lapidem"
Besuche das Innere der Erde, so wirst Du den occulten Stein finden. Eine Anweisnung zur Meditation.

Diese hat nichts Anderes zum Gegenstand als das fichtesche ICH.

Der einzige Weg zur Praxis, der derzeit öffentlich gelehrt wird, das sind die Vorträge von Eckhard Tolle. Er lehrt Advaita Philosophie.

Alles was er sagt hat Tiefe und ist die reine Wahrheit. Man kann das ebensogut bei Fichte lesen (Johann Gottlieb Fichte, Philosoph des Advaita) oder bei Meister Eckhard, etc.
Seine Anweisungen haben sofortige Wirkung.

#8 RE: Tetraktys, Diskussionen von Philolaos 24.06.2017 03:01

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W.L.: Danke für dieses Video von Eckhard Tolle. Vermutlich wolltest Du damit zeigen, dass die Aktivität des menschlichen Verstandes hinderlich ist, um zu einem inneren Frieden zu finden, der aus der Auflösung der Polarität von Innen- und Außenwelt resultiert.
Tolle sagt u.a.:
„… halte bei der nun folgenden Musik deine Aufmerksamkeit fest und sei innen und außen gleichzeitig gegenwärtig…“

„Sei innen und außen gleichzeitig gegenwärtig.“

Jetzt schau Dir mal diese Thematik an, die ich ansprach. Es geht um einen Kreis mit seiner Innenwelt, also dem Mittelpunkt und seiner Außenwelt, der Peripherie, die möglichen Teiler, die Teilereigenschaften, der Lärm der Welt, der auf den Mittelpunkt den Nullpunkt des Selbst einwirkt… oder umgekehrt.
Und genau darum geht es ja dabei, dass sich Ursache und Wirkung umkehrt und damit auflöst.
Denn ich kann zwei Kreise mental im Gedächtnis halten, um diese zwei Kreise gleichzeitig zu einer Einheit verschmelzen zu lassen. Die Synthese von Sonne und Mond. Dazu brauche ich aber diese beiden Spiegelungsachsen, die ein Kreuz bilden.

Der magische Kreis könnte auch ein solches Konstrukt sein. Ein Kreuz, deren Enden den vier Himmelsrichtungen bzw. den vier Elementen entsprechen. Das ist eine Meditationsübung, die in einschlägiger Literatur detailliert beschrieben wird. Das ist also sicher, im Gegensatz zur dem Kubischen Kristallgitter, bei dem die dritte Dimension das Ganze kompliziert macht und auch statischen Charakter hat...

Besonders augenscheinlich ist aber der Sonnenlauf im Freimaurertempel, ebenfalls die vier Himmelsrichtungen, zusätzlich noch mit der Zuordnung der beiden Säulen von Sonne und Mond, die dem aktiven Sonnenlauf also ersten Halbkreis (Drehung) und die passive Mondphase (Spiegelung) des zweiten Halbkreises symbolisieren.
Dieses Ritual stammt ursprünglich von den Rosenkreuzern.
Wie detailliert ich in diese Meditation einsteige, scheint mir also auch eine Frage der Kenntnis über diese Zusammenhänge zu sein, die ich für durchaus hilfreich halte.

#9 RE: Tetraktys, Diskussionen von W.L. 26.06.2017 10:01

Innen und Außen, Stille und der "Lärm der Welt" sind beides Ereignisse innerhalb des eigenen Bewusstseins.
Der "Lärm der Welt" ist eine passive, rezeptive Form des Bewusstseins, negativ konnotiert.
Stille kann ebenso eine negative Erlebnisform sein, wenn das Bewusstsein aus Aktivität programmiert ist.

Hinter diesen Begrifflichkeiten stehen zwei komplementäre Grundkräfte: Aktivität-Passivität, Innen-Außen
Sobald sich diese beiden Komplemente kombinieren entsteht Quaternität.

Ist der Mensch Aktiv, so wird äußere Aktivität (Lärm der Welt) kreativ bewältigt. Der Mensch lebt im Außen. Ist der Mensch passiv, so sehnt er sich nach Ruhe und Stille. Der Mensch lebt im Innen, im Privaten, kontemplativem Raum. Das sind die beiden positiv konnotierten Kombinationen. Dazu gibt es die beiden oben schon beschriebenen negativ besetzen Kombinationen.

Aktivität-Außen - Aktivität-Innen
Passivität-Außen - Passivität-Innen

Formal könnte man es auch so darstellen

(+)(+) - (+)(-)
(-)(+) - (-)(-)

In diesem Fall sind ++ und -- positiv besetzt, werden als angenehm empfunden. Man könnte auch sagen, die Kräfte sind gleichgerichtet. Positiv besetz sind also: Ich bin aktiv(+) und befinde mich in einer aktiven Umgebung(+). Ich bin passiv(-) und befinde mich in einer ruhigen Umgebung(-). Negativ besetzt sind dann (+)(-) oder (-)(+).

Die Kombination zweier logischer Gegensätze ist so aufgebaut und so kommt man zum logischen Quadrat.



Man kann die beiden Gegensätze auch so anordnen.



Setzen man nun für Aktiv Feuer, für passiv Wasser und für Lärm(äußere Aktivität) Luft, für Ruhe Erde, so erhält man die astrologische Version dieses Komplexes.
Streng betrachtet steht Feuer für wie Willensaktivität, Luft für die Verstandesaktivität, Wasser für die emotionale Aktivität, Erde für die körperliche Aktivität.



Die Rosenkreuzer haben es so dargestellt.



Eckhard Tolle wendet eine Methode an, die uns in die transzendente Mitte bringen möchte. Das besagt nun auch diese Rosenkreuzertafel, denn die vier Elemente sind Kräfte in uns. In der Mitte steht der Satz, ganz unten: "Gott ist alles in allem". Von oben nach unten steht geschrieben: Elohim, Jehova, Gott, Wort, usw. Es sind elf Zeilen bis zum Feuerelement. Dann sind innen nochmals 11 Zeilen, zusammen 22 Zeilen. Das erinnert an die 22 Karten der großen Arkana des Tarot.

#10 RE: Tetraktys, Diskussionen von W.L. 26.06.2017 11:19

1. Axiom
2. These = a
3. Antithese = b
4. Synthese = ab

Meines Erachtens ist das ein statisches Schema. Die Dynamik nach Hegel:

1. These = a
2. Antithese = b
3. Synthese = ab

Aus der Synthese wird im neuerlichen Zyklus die
4. These

Und so geht das weiter.

#11 RE: Tetraktys, Diskussionen von W.L. 26.06.2017 11:26

Teilereigenschaften können ebenfalls vierheitlich dargestellt werden
Hier weiter -> Beziehungen zwischen einfachen ganzen Zahlen, anschaulich gemacht an Polygonen

#12 RE: Tetraktys, Diskussionen von Philolaos 26.06.2017 20:30

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Zitat von W.L. im Beitrag #11
1. Axiom
2. These = a
3. Antithese = b
4. Synthese = ab

Meines Erachtens ist das ein statisches Schema. Die Dynamik nach Hegel:

1. These = a
2. Antithese = b
3. Synthese = ab

Aus der Synthese wird im neuerlichen Zyklus die
4. These

Und so geht das weiter.


Hmmm.... also ich bin davon überzeugt, dass ein Zyklus einem Kreislauf entspricht, und der ist vierteilig angelegt:



Ein Zyklus (z.B. Tag-Nacht-Rhythmus, Mondzyklus, Ebbe Flut usw...) hat in der Regel 4 Situationen:
Minimum
Zuwachs
Maxium
Abnahme
(Wobei ich mit der Durchnummerierung von 1 bis 4 vorsichtig bin.)

Ein abgeschlossener Zyklus muss also demnach 4 Elemente beinhalten, wogegen ein 5. den neuen Zyklus einleitet.
Oder wie kann man einen Kreislauf dreiteilig darstellen?

#13 RE: Tetraktys, Diskussionen von Philolaos 27.06.2017 01:09

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Zitat von W.L. im Beitrag #12
Teilereigenschaften können ebenfalls vierheitlich dargestellt werden
Hier weiter -> Beziehungen zwischen einfachen ganzen Zahlen, anschaulich gemacht an Polygonen

Die Vierheit der Teilereigenschaften und auch die Vierteilung der Divisionstabelle resultiert direkt aus dieser Vierung des Kreises die wie oben gezeigt, auch als Sinuskurve dargestellt werden kann. Darin sehe ich auch eine direkte Verbindung zwischen Zahlentheorie und Physik. So trivial wie das auf dem ersten Blick scheint, mag es tatsächlich auch sein, aber es sollte vielleicht auch mal gesagt werden ;-)

Die wahre Ur-Glyphe der Tetraktys ist also im Grunde genommen genau jenes Bild auf dem Cover des Buches "Zahl Seele Kosmos". Für mehr Klarheit wie diese Vierung des Kreises mit dem 10-Punkte-Dreieck zusammenarbeitet, welches gemeinhin als Symbol der Tetraktys gehandelt wird, sorgt diese Übersicht:
Aufteilung der n-Simplexe in Polygone und Sternpolygone,
sowie die jeweiligen Innenwinkelsummen ihrer Ecken zur Darstellung der Tetraktys: 1+2+3+4=10


Ein wirklich tiefes Verständnis, wie diese vier Kreissegmente mit den vier Teilereigenschaften zusammenarbeiten, erschließt sich nur durch intensiveres Studium der Divisionstabelle mit der eingezeichneten Hierarchie von Drehungen und Spiegelungen der entsprechenden Polygone und Polygonsterne.

Die Kleinsche Vierergruppe entspricht dem Grundbauplan dieser Struktur. Die dreidimensionalen Symmetrieoperationen des Tetraeders entsprechen ebenfalls der Kleinschen Vierergruppe. Das ist überraschend, weil man von einer solchen 3D-Symmetrie nicht erwartet, dass in ihm die Symmetrie eines länglichen Vierecks versteckt ist. Aber das ist eine Tatsache und mit ein wenig Einfühlungsvermögen ist das nachvollziehbar. Im Klartext heißt das, dass die Divisionstabelle und die vier Teilereigenschaften tatsächlich auch mit dem Tetraeder "verwandt" sind. Für mich ist das eine faszinierende und wichtige Erkenntnis, die ich demnächst meiner Internetseite tetraktys.de einverleiben werde.

Spannend wäre für mich, diese Zusammenhänge allgemein verständlich zusammenzufassen und vor allem die "Systemlücke" zwischen Symmetrie und Musiktheorie (Physik) zu schließen. Man kann leider nur darüber spekulieren, wie die Pythagoreer diese Lücke gefüllt haben. Einige Hinweise geben uns die Fragmente des Philolaos: http://tetraktys.de/einfuehrung-6.html

#14 RE: Tetraktys, Diskussionen von W.L. 27.06.2017 09:27

Ein Kreislauf kann mit jeder Zahl abgebildet werden, z.B. "Aus Abend und Morgen ward der erste Tag". Da sind nur Abend und Morgen.

***

Was ich nicht verstehe: Die kleinsche Vierergruppe hat eine Identitätsabbildung, eine Drehung um 180°, zwei Spiegelungen
Das Tetraeder
"Im Einzelnen gehören zur Tetraedergruppe

12 Drehungen (gerade Permutationen), nämlich
die identische Abbildung,
8 Drehungen um 120° (vier mögliche Drehachsen durch jeweils eine Ecke und den Mittelpunkt der gegenüberliegenden Dreiecksfläche, 2 Möglichkeiten für den Drehsinn) und
3 Drehungen um 180° (Drehachsen jeweils durch die Mittelpunkte zweier gegenüberliegender Kanten)

sowie

12 ungerade Permutationen. Diese erhält man, indem man nach jeder der 12 geraden Permutationen noch die Spiegelung an einer festen Symmetrieebene durchführt. 6 davon lassen sich auch als eine reine Ebenenspiegelung beschreiben, die anderen sechs als Drehspiegelungen von Drehung um 90° um eine Achse, die durch die Mittelpunkte zweier gegenüberliegender Kanten verläuft, und Spiegelung an der zu dieser Achse senkrechten Ebene, die den Mittelpunkt zwischen den beiden gegenüberliegenden Kanten beinhaltet.

Die geraden Permutationen bilden eine Untergruppe der Tetraedergruppe, die so genannte alternierende Gruppe A 4 {\displaystyle A_{4}} A_{4} (die Punktgruppe T bzw. 23). Manchmal wird der Begriff Tetraedergruppe auch nur für diese unter Ausschluss der Spiegelungen verwendet.
"
https://de.wikipedia.org/wiki/Tetraeder#Symmetrie

***

Das Quadrat hat also erstmals eine Innenwinkelsumme von 360°
Ab dann kommt für jedes geradzahlige Polygon eine Winkelinnensumme von 360° dazu.
Das Zehneck mit allen Innendiagonalen (das neundimensionale Simplex als Schattenriss) hat die Innenwinkelsumme 4 x 360° (1440°) und jeder Innenstern hat 1,2,3 -fachen Vollwinkel zu 360°, zusammen sind das (1+2+3+4) x 360° =10 x 360°
http://tetraktys.de/downloads/tetraktys_1.pdf

Soweit ist das Vierheitlich. Ist das eine Einzelerscheinung oder geht das so weiter? D.h. ist tatsächlich eine vierheitliche Struktur in den Polygonen enthalten?

Die Beziehung zwischen Innenwinkelsummen zu je 360° und Eckenzahl des umschließenden Polygons wächst im Verhältnis:
[ E(n) / D(n)], wobei D(n) die n-te Dreieckszahl ist und E(n)=2n+2, n sind natürliche Zahlen. D(n)=[((n*(n+1))/2]
D(4) = 10 ist die vierte Dreieckszahl E(n)=2 x 4 + 2=10
D(5) = 15 die fünfte Dreieckszahl E(n)=2 x 5 + 2 = 12
Scheint zu stimmen.
Das Verhältniss zwischen Anzahl an Vollwinkeln und Eckenzahl folgt einer Obertonreihe und das im Vierertackt.



Das ist "tetraktysch", wenn man es harmonikal betrachtet. Nicht unbedingt sofort verständlich.
Dein Thema ist, wie man es dreht und wendet vierheitlich. Es sieht zumindest so aus.

Ich habe mir die Gleichung [((n*(n+1))/2]/(2*n+2) bei Wolfram vereinfachen lassen:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=%5...2%5D%2F(2*n%2B2)
Ergebnis: n/4
Damit ist bewiesen, dass das oben beschriebene Verhältnis Vierheitlich ist.

Das ist ein ziemlicher Seitenzweig der Tetraktys. Sehr kryptisch.

#15 RE: Tetraktys, Diskussionen von Philolaos 27.06.2017 23:55

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Erst mal zum Thema Kreislauf und Vierheit:
Das ist ein komplexes Thema, dem man sich von verschiedenen Seiten annähern kann und auch muss. Selbstverständlich lässt sich ein Kreislauf mit einer x-beliebigen natürlichen Zahl darstellen, siehe n-Eck und Simplex, das ist überhaupt keine Frage.

Aber schauen wir uns zuerst Kreisläufe in der Natur an. Da werden wir in erster Linie mit dem Wechsel einer Polarität und ihrem Auf und Ab konfrontiert, also zwei polare Min-Max-Zustände und ihre dazugehörigen zwei dynamischen Übergänge:

Frühling
Sommer
Herbst
Winter

Neumond
zunehmender Mond
Vollmond
abnehmender Mond

Sonnenaufgang
Mittag
Sonnenuntergang
Mitternacht

oder Kreisläufe im menschlichen Organismus:

Einatmen
Fülle
Ausatmen
Leere

Anspannungsphase = Systole (Kontraktion)
Austreibungsphase
Entspannungsphase = Diastole (Entspannung)
Füllungsphase

Nahrungseinnahme
Sättigung
Ausscheidung
Hunger

…usw…usw…

Diese Vierung entspricht auch einer typischen Wellenbewegung also Wellenberg, Wellental und der dazu gehörigen Auf-Ab-Bewegung zwischen diesen beiden Zuständen, bzw. auch einer Sinuskurve wie oben dargestellt.

Auch das Yin-Yang-Symbol zeigt diesen Kreislauf, zwei polare Punkte, die sich in zwei tropfenförmigen Übergängen befinden, also vier Elemente in einem Kreis, zwei Pole und zwei Übergänge.
Die vier Elemente u.a. in der Hermetik symbolisieren ebenfalls diese Vierung des Kreises, die zudem noch mit den vier Himmelsrichtungen gemäß den vier Tageszeiten verknüpft werden, zwei aktive und zwei passive Pole.

Und genau eine solche Doppelung von An-Aus-Zuständen findet auch in der Divisionstabelle statt, die Doppelung gerader und ungerader Zahlen des X- und Y-n-Strahls zu einem 4er Rhythmus. Diesen 4er Rhythmus kann man durch die Innenwinkelsummen der Polygone und Sternpolygone sehen.
Er ist auch an Hand der Kommawerte zu sehen, wenn man bei Quotient 2 alle Winkelsummen zusammenzählt. Jeder vierte Wert muss ein Kommawert sein.
Und es ist auch zu sehen an der Position der Teilereigenschaften selbst, nämlich an den Rändern der Divisionstabelle wo ab der vier zum ersten mal die letzte Eigenschaft zu sehen ist.

Dieser 4er-Takt ist auch grafisch sichtbar, wie zum Beispiel hier: http://tetraktys.de/geometrie-1.html#ornamentik
Ursache ist auch hier wieder die Doppelung gerader und ungerader Zahlen.

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