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#16 RE: Tetraktys, Diskussionen von Philolaos 28.06.2017 00:19

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Die Sache mit der Kleinschen Vierergruppe, der Divisionstabelle und dem Tetraeder ist nicht einfach. Vermutlich kann man so viele Gruppierungen ins Spiel bringen wie auch die Zahl 24 geteilt werden kann.
Hier ist das zum Beispiel ein wenig anders erläutert als in Wikipedia: http://www.michael-holzapfel.de/themen/symmetriegruppen/tetraedergruppe/tetraedergruppe.htm

Die Zuordnung der Kleinschen Vierergruppe zum Tetraeder ist nicht meine Idee, sondern entstammt dem Buch von Marcus de Sautoy "Die Mondscheinsucher, Mathematiker entschlüsseln das Geheimnis der Symmetrie"
Da wird das genau so beschrieben wie ich es weiter oben angedeutet habe. Die vier Operationen der Kleinschen Vierergruppe werden mit der Didergruppe des Dreiecks kombiniert, also 3 Drehungen und 3 Spiegelungen, macht zusammen 6. Diese 6 Operationen werden dann multipliziert mit den 4 Operationen der Kleinschen Vierergruppe, womit wir auf insgesamt 24 Symmetrieoperationen kommen.
Spannend ist jetzt, wie genau diese Zuordnung von Spiegelung, Spiegelung und Drehung auf das Tetraeder angewendet wird. Dazu muss man sich das Tetraeder auf einer Kante stehend vorstellen. Das lässt sich nun zwei mal spiegeln aber nur ein mal drehen, nämlich so, dass die obere und untere Kante wieder genau in der selben Position ist. Und das ist eine 180-Grad-Drehung.

Und genau so kann man die Teiler der Divisionstabelle auch darstellen, mit zwei Spiegelungen und einer 180-Grad-Drehung.

#17 RE: Tetraktys, Diskussionen von Philolaos 28.06.2017 00:36

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Deine Tabelle gefällt mir und zeigt bei der Anzahl der Ecken sogar einen 8er Rhythmus, und den gibt es übrigens auch bei dieser "Ornamentik im Vierertakt", denn es sind ja immer 4x gefüllt und 4x nicht gefüllt, also zusammen 8.
Also ich gehe nicht davon aus, dass das ein Seitenzweig der "Tetraktys" ist, so wie Du vermutest sondern eher des Pudels Kern.

Also dieser Zusammenhang von Wellenformen und kreisenden Bewegungen, der Doppelung gerader und ungerader Zahlen zu einer Vierheit im vollen Kreisbogen, die vier Eigenschaften wie sich Zahlen teilen lassen plus die Kleinsche Vierergruppe, die mit dem Tetraeder verwandt ist. Dieser 4-teilige Grundaufbau einer Welle und wie Wellen sich teilen und ein Interferenzmuster aufbauen (Divisionstabelle)....

Gerade diese Kombination von "Zahlenmystik" und kreisenden Bewegungen, das riecht sehr nach der Kombination von "Pythagoreer" und "Quelle der ewig strömenden Natur". Und der Zusammenhang zwischen geometrischen Figuren und der Zahl 10 ist ja in diesem Buch: "Von den pythagoreischen Zahlen" das zentrale Thema:
http://tetraktys.de/einfuehrung-6.html#zehnzahl
Und wir wissen ja, dass das Pentagramm das Erkennungszeichen der Pythagoreer war. Diese vierte und letzte Teilereigenschaft bei 10/4 (Doppelpentagrmm) war laut diesem Buchtext für die Pythagoreer unglaublich wichtig.
Dieses Thema nahm die Hälfte des Buches ein.

#18 RE: Tetraktys, Diskussionen von W.L. 28.06.2017 07:59

Ich habe mir das Buch bestellt. Klingt interessant und müsste mal verständlich dargestellt werden.
Ich melde mich, wenn ich das Buch durch habe.

#19 RE: Tetraktys, Diskussionen von Philolaos 28.06.2017 10:38

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Ähhhmmm....
wo ich geschrieben habe: "Dieses Thema nahm die Hälfte des Buches ein" damit meinte ich das antike verschollene Buch "Von den pythagoreischen Zahlen.
Und auch meine letzten Bemerkungen stehen nicht im Buch von Marcus du Sautoy, falls Du das jetzt vielleicht schlussfolgerst, aber es ist trotzdem sehr lesenswert. Die Sache mit dem Tetraeder steht drin. Es geht um Gruppentheorie und Zahlentheorie. Der selbe Autor hat schon einige populärwissenschaftliche Bücher geschrieben, zB. "Die Musik der Primzahlen".

#20 RE: Tetraktys, Diskussionen von W.L. 28.06.2017 10:50

Sautoys Buch habe ich gelesen.
Ich habe mir das hier bestellt: http://tetraktys.de/einfuehrung-6.html#zehnzahl

"Die Vorsokratiker" von Wilhelm Capelle
Alfred-Kröner-Verlag Stuttgart 2008
9. Auflage
ISBN 978-3-520-11909-4

Das hat schon lange angestanden.

#21 RE: Tetraktys, Diskussionen von Philolaos 28.06.2017 11:15

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Ja aber das ist ja nur ein Fragment, welches ich ungekürzt als Zitat wiedergegeben habe. Mehr findest Du in diesem Buch zu diesem Thema auch nicht. Das Originalbuch ist wohl schon lange nicht mehr existent. Das wichtigste Fragment stammt von Iamblichos.

#22 RE: Tetraktys, Diskussionen von Philolaos 04.07.2017 20:13

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Es handelt sich bei diesem Fragment von Iamblichos direkt um den Inhalt eines Buches, welches vom Pythagoreer Philolaos stammt, hier das komplette Fragment:

Speusippos, Sohn von Platons Schwester Potone, sein Nachfolger als Haupt der Akademie vor Xenokrates, hat aus den stets mit besonderem Eifer gepflogenen pythagoreischen Erörterungen, vor allem aus den Schriften des Philolaos, ein hübsches Büchlein zusammengestellt, dem er den Titel »Von den pythagoreischen Zahlen« gegeben hat.
Zuerst behandelt er hierin, vom Anfang bis zur Mitte, eingehend die Zahlen, die sich auf Linien beziehen, und solche, die sich auf Vielecke und allerlei Flächengebilde beziehen, und zugleich solche, die zu festen Körpern in Beziehung stehen; Dann spricht er von den fünf Figuren, die den Elementen des Kosmos zugeschrieben werden, sowie über ihre Eigentümlichkeit und ihre gemeinsamen Beziehungen, analoge und nicht analoge Verhältnisse <zwischen ihnen>.

Danach widmet er die zweite Hälfte seines Buches der Zehnzahl, indem er sie als die natürlichste und vollkommenste von allen Dingen erweist, die gleichsam kunstgemäßes Urbild für die kosmischen Schöpfungen aus sich selber (und nicht <nur> auf Grund unserer Meinungen oder Einfälle) ist und als vollkommenstes Vorbild dem das Weltganze gestaltenden Gott vor Augen steht.
Er spricht folgendermaßen über sie:
»Es ist aber die Zehn die vollkommene Zahl, und mit Recht und ganz natürlicherweise begegnen wir <Menschen> uns in dieser, Griechen und alle Völker, die auf alle mögliche Art zählen, indem wir selber dabei nichts mit Absicht tun. Denn sie hat viele Eigentümlichkeiten, wie das bei einer so vollkommenen Zahl in der Ordnung ist; viele Eigenschaften aber sind ihr nicht spezifisch eigentümlich; sie muß aber <auch> diese als vollkommene Zahl besitzen.

Erstens nun muss sie eine gerade Zahl sein, damit in ihr in gleicher Weise die ungeraden und die geraden Zahlen enthalten sind und nicht solche, die Produkte aus ungleichen Faktoren sind.
Denn da stets die ungerade Zahl früher als die gerade ist, wird, wenn nicht die schließende Zahl gerade wäre, die andere mehr haben.
Sodann muss sie die ersten und unzusammengesetzte und die zweiten und zusammengesetzten in gleicher Weise enthalten.


Das aber ist bei der Zehnzahl der Fall, dagegen bei keiner andern Zahl, die kleiner ist als zehn, wohl aber bei größeren, aber Grundzahl von ihnen ist die Zehnzahl.
Und sie hat als erste, die diese Eigenschaft hat, und als die kleinste von denen, die diese Eigenschaft haben, eine gewisse Vollendung, und das ist ihr gewissermaßen eigentümlich, dass in ihr als erster unzusammengesetzte und zusammengesetzte Zahlen in gleicher Anzahl zur Erscheinung kommen.«

[Jamblich, Theologische Zahlenlehre S. 82,
10 de Falco = 44 A 13]


Dieses Fragment kann man auch in einigen anderen Büchern über die Vorsokratiker finden, mit fast genau dem gleichen Wortlaut.
Zum Beispiel auch in diesem: https://www.amazon.de/Die-vorsokratischen-Philosophen-Einf%C3%BChrung-Kommentare/dp/3476018342

#23 RE: Tetraktys, Diskussionen von W.L. 05.07.2017 11:06

Dass jede gerade Zahl gleich viele gerade und ungerade Zahlen enthält ist klar.
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
In Fall Zehn, wie in allen anderen Fällen ungerader Zahlen, sind ebensoviele gerade, wie ungerade Zahlen enthalten.

"Sodann muss sie die Ersten und Unzusammengesetzten und die Zweiten und zusammengesetzten in gleicher Weise enthalten."

Da ist die Zahl Zehn eine echte Ausnahme!
Eine treffende Bezeichnung ist "Unzusammengesetzt", denn Zwei ist Primzahl, aber zusammengesetzt.
Im Mahthebüchern steht daher meist "alle Primzahlen größer Zwei", dann ist aber die Eins nicht dabei.
Also "die Ersten und Unzusammengesetzten"
Das sind 1,3,5,7
Das sind konstituierende Zahlen auch für das Wasserstoffatom. Daher sind diese Zahlen nicht nur einmalig in der Reihe der Primzahlen, wo sie in dieser Folge nie mehr auftreten, sondern sie sind konstituierend für den Kosmos.

Ich habe diese einfache Struktur damals in meinem Essay (Teil 1, Teil 2, Teil 3) zum Kronkreis bei Raisting kaum beschrieben.



Wenn man die Rauten zählt, sind es außen sieben in einem Drittel des Ringsegments, dann nach innen fünf, drei, eins. Das Ganze wiederholt sich drei Mal.
Dort auch eine mathematische Definition des Begriffs "Natur", als Antinomie der Mengen. Mengen können sich nicht selbst enthalten. Die Natur ist eine Menge, die sich selbst enthält. Daher können wir sie nie begreifen, denn begreifen kann man nur das Begrenzte. Sie hüllt jedoch alles ein und schafft damit Grenzen. So umhüllt die Null etwa die Eins und wird so zur Zehn. So definieren die Theosophen die Zahl Zehn.

#24 RE: Tetraktys, Diskussionen von Philolaos 07.07.2017 00:48

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W.L.: Gerade und ungerade Zahlen? Meinst Du wirklich, dass die Pythagoreer nur diesen trivialen Sachverhalt meinten?
Du schreibst:

Zitat von W.L. im Beitrag #23
Da ist die Zahl Zehn eine echte Ausnahme!

Wo ist denn da die 10 eine Ausnahme?

Die Primzahlen 1,3,5,7 als "konstituierende Zahlen auch für das Wasserstoffatom“?
Wobei ja die 1 keine Primzahl ist, die 2 als einzige gerade Zahl schon, usw.... das alte Thema halt.....

Aber wenn das so wäre, würde ja schon die 8 die heilige Zahl der Pythagoreer sein, und von "konstituierenden Zahlen im Wasserstoffatom" hatten die Pythagoreer auch keine Kenntnis.

Also ich dachte da eher an die Sache mit den Teilereigenschaften, was Dich sicher nicht überraschen wird. Was hält Dich davon ab, das auch so zu sehen?
Weil da die 7 als wichtige harmonikale Zahl keine Relevanz hat?
Doch, hat sie:
Als erste Teiler der vier möglichen Teilereigenschaften bis unendlich sind die Mengen 1,2,3,4 relevant, wogegen die zu teilenden Zahlen mit den entsprechenden Diagonalen die Mengen 4 bis 10 sind.
Von 4 bis 10 sind es auch 7, nämlich 4 gerade und 3 ungerade Zahlen.

Also ich denke, dass das die Pythagoreer meinten:

Die ersten und unzusammengesetzte sind Polygon und Sternpolygon.
Das entspricht der ungeteilten Zahl (Polygon) und den einzig möglichen Konstellationen der Primzahlen (Sternpolygon).

Die zweiten und zusammengesetzten sind Polygon mehrfach und Sternpolygon mehrfach.
Das entspricht den zusammengesetzten Zahlen der Form teilbar und nicht teilbar.

Die vier Grundtypen von Polygonen und Polygonsternen also, die sich sowohl aus den Winkelsummen voller Kreisbogen, als auch aus den vier Teilereigenschaften ergeben. Das ist eine in sich konsistente Systematik, die zu erfassen dem Intellekt der Pythagoreer angemessen erscheint.

Und vor allem: Diese Drehbewegungen (Drehungen und Spiegelungen) unterstützen auch die Metapher von der Tetraktys als die Quelle der ewig strömenden Natur und ihr Wunschdenken, diese "Zahlenmysik" auf die Drehbewegungen des Kosmos zu übertragen, indem sie annahmen, dass es genau 10 Himmelskörper geben müsse. Damit ergibt auch dieser Bezug zur "Sphärenharmonie" einen Sinn. Wobei die Brücke zur Musiktheorie das Lambdoma Alias Divisionstabelle ist.

Nächstes Indiz: Das Pentagramm war das geheime Erkennungszeichen der Pythagoreer.
Die vierte und letzte Teilereigenschaft ist zum ersten mal in 10/4 zu finden, als Doppelpentagramm.

Diese vier Elemente der Teilereigenschaften wurden mit den vier Elementen Feuer, Luft, Wasser und Erde in Verbindung gebracht. 10/4 = Erde.
Denn der volle Kreisbogen im Viereck (Winkelsumme = 1 Vollkreis) erschafft die vier elementaren Möglichkeiten, wie "Gott" sich teilen kann. Das entspricht auch dem Sonnenlauf im Rosenkreuzer-Ritual (und Freimaurerei).
Dass die Windrose bzw. das Kreuz auch ein starkes Symbol und ein Archetyp ist, kommt da noch obendrauf. Es gilt also nicht entweder oder, sondern sowohl als auch.

#25 RE: Tetraktys, Diskussionen von W.L. 07.07.2017 08:33

3,5,7 ist der einzige Primzahldrilling, den es gibt.
http://www.mathepedia.de/Primzahldrillinge.aspx

Ich schrieb oben:
"Eine treffende Bezeichnung ist 'Unzusammengesetzt', denn Zwei ist Primzahl, aber zusammengesetzt.
Im Mahthebüchern steht daher meist "alle Primzahlen größer Zwei", dann ist aber die Eins nicht dabei.
Also 'die Ersten und Unzusammengesetzten': das sind 1,3,5,7"

"die magnetische Quantenzahl m durchläuft für gegebenes l (2l+1) ganzen Zahlen von -l +l."
https://de.wikipedia.org/wiki/Wasserstof...atische_Details

Für i={0,1,2,3} ist m={1,3,5,7}, das Ganze dann auch für die negativen l.
Mehr kommt im Wasserstoffatom nicht vor, da die höheren Magnetquantenzahlen instabile Orbitale erzeugen.

Die Pythagoreer wussten nichts davon, aber es ist so. Die Pythagoreer mussten es nicht wissen. Sie wussten Dinge, über die menschliche Natur, die uns unbekannt sind. Wesentlich ist, dass diese Zusammenhänge eine universelle Note haben. Das ist der Grund, weshalb diese Zahlen im Wasserstoffatom auftreten. Diese Magnetquantenzahl ist nichts weiter als eine Quantelung der Raumorientierung. Insofern reine Symmetrie. Das ist ihre universelle Note. Etwas flapsig könnte man etwa sagen, es sei kein Zufall, dass der Mensch fünfzählige Extremitäten habe, auch das scheint eine Quantelung in der Symmetrie, so wie diese im Atom vorkommt, wie auch in Blumen und Kristallen. Bei den Kristallen ist das übrigens unmittelbar der Grund.

Die Zahlen 1,3,5,7 sind fundamental für die Musik, denn diese "Unzusammengesetzten" zahlen erzeugen neue Intervallqualitäten. Das zu erklären, würde jetzt zu weit führen, aber wie man sieht, scheint auch die Psyche einer analogen Quantelung zu unterliegen.

Peter Sloterdijk sagt Musik könne eine Alphabetisierung der Seele bewirken. Wenn das so ist, dann den dies Zahlen die Vokale dieser Sprache.

Also die Pythagoreer haben, wie ich meine, schon ein wenig mehr gemeint als Teilereigenschaften, wenn sie von der Zahl und speziell der Zehn sprachen. Natürlich sind die Eigenschaften der Zahlen primär diejenigen ihrer Teilbarkeit. Das ist klar. Sie haben aber noch weitere fundamentale Aspekte. Zwei davon sind Symmetrie und Intervall. Letzteres meint ihre psychische Konstitution.

#26 RE: Tetraktys, Diskussionen von Philolaos 07.07.2017 11:55

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Hmmm... Prinzipiell darf jeder von uns seinen Glauben und seine Meinung haben, aber Du bist nicht auf meine Argumente und Gegenargumente eingegangen. Der Inhalt des Buches usw... 1,3,5,7 braucht auch keine 10, da reicht schon die 8 usw....
Ich bin ja gern bereit zu lernen und Irrtümer einzugestehen.

#27 RE: Tetraktys, Diskussionen von W.L. 07.07.2017 12:06

"Sodann muss sie die Ersten und Unzusammengesetzten und die Zweiten und zusammengesetzten in gleicher Weise enthalten."

"die ersten und Unzusammengesetzten", sind das nicht 1,3,5,7 ?
"die Zweiten und zusammengesetzten ...", sind das 2,4,6,8 ?
Die Acht ist zu klein, weil sie diese nicht enthält. Die Neu würde ausreichen.
Die ist aber nicht zusammengesetzt, wie die geraden Zahlen. Sie hat von beiden etwas und zählt weder zu den Zusammengesetzten noch zu den Unzusammengesetzten .
Die 9 enthält die geraden und Ungeraden nicht in gleicher Weise (1,2,3,4,5,6,7,8,9 fünf ungersde und vier gerade Zahlen) weil sie ungerade ist. Daher kommt als Nächste nur die Zehn in Frage. Damit sind die Bedingungen erfüllt:

"Erstens nun muss sie eine gerade Zahl sein, damit in ihr in gleicher Weise die ungeraden und die geraden Zahlen enthalten sind und nicht solche, die Produkte aus ungleichen Faktoren sind. Denn da stets die ungerade Zahl früher als die gerade ist, wird, wenn nicht die schließende Zahl gerade wäre, die andere mehr haben. Sodann muss sie die Ersten und Unzusammengesetzte und die Zweiten und zusammengesetzten in gleicher Weise enthalten."

#28 RE: Tetraktys, Diskussionen von W.L. 08.07.2017 18:26

Deine Version:
Gruppe I) 10/1 = 10 erste Teiler-Eigenschaft. Jede Zahl ist durch 1 teilbar
Gruppe II) 10/5 = 2 und 10/2 = 5 ohne Rest teilbar
Gruppe III) 10/9 = 1 R 1, 10/7= 1 R 3, 10/3 = 3 R 1 Die Zahlen sind teilerfremd
Gruppe IV) 10/8 = 1 R 2, 10/6 = 1, 10/4 = 2 R 2 beide haben einen gemeinsamen Teiler 2. Sind aber nicht ohne Rest teilbar

Wie werden diese vier Teilbarkeitssituationen dem Zitat zugeordnet.

Aus der "Zahlenlehre des Philolaos von Kroton" über die Zehnzahl.
Überliefert wurde das Zitat aus Jamblichos theologische Zahlenlehre, dort wird berichtet, es habe ein "Büchlein" des Philolaos mit dem Titel "Von den pythagoreischen Zahlen" gegeben, darin werde u.a. Zahlen beschrieben, die sich auf "Vielecke und allerlei Flächengebilde beziehen". Dieses Zitat bezieht sich auf die Zehnzahl und ihre einmaligen Eigenschaften, die sich von allen anderen in besonderer Weise unterscheidet:
"Erstens nun muss sie eine gerade Zahl sein, damit in ihr in gleicher Weise die ungeraden und die geraden Zahlen enthalten sind "
Das ist klar.
"und nicht solche, die Produkte aus ungleichen Faktoren sind."
Caplelle, Wilhelm; Die Vorsokratiker, Kröner, Leipzig, 1935, S. 476

Das ist doch nur so zu verstehen, dass gerade Zahlen vielfache von Zwei sind. Andernfalls wären das ja Quadratzahlen und höhere Potenzen. Von denen käme kleiner 10 nur 4 in Frage. Übersetzt man statt "Produkt" Vielfache, dann wäre der Zusatz erklärlich.

Andernfalls könnte man das so verstehen, dass beide Zahlen einen gleichen Teiler haben. Kleiner Zehn wären das 4,6,8. Das würde den Zusatz erklären. In den Polygonen wären das mehrfach Sterne.

Es müsste dann heißen: "Zahlen die ungleiche Faktoren enthalten", das sind die Teilerfremden (Gruppe III). Zahlen die gleiche Faktoren enthalten, das sind je zwei, die einen gleichen Teiler enthalten. Z.B. 4 und 10 (Gruppe IV). Die sind nicht teilbar, aber sie enthalten einen gleichen Teiler.

#29 RE: Tetraktys, Diskussionen von W.L. 12.07.2017 10:23

Zitat von Philolaos im Beitrag #15
Erst mal zum Thema Kreislauf und Vierheit:
Das ist ein komplexes Thema, dem man sich von verschiedenen Seiten annähern kann und auch muss. Selbstverständlich lässt sich ein Kreislauf mit einer x-beliebigen natürlichen Zahl darstellen, siehe n-Eck und Simplex, das ist überhaupt keine Frage.

Aber schauen wir uns zuerst Kreisläufe in der Natur an. Da werden wir in erster Linie mit dem Wechsel einer Polarität und ihrem Auf und Ab konfrontiert, also zwei polare Min-Max-Zustände und ihre dazugehörigen zwei dynamischen Übergänge:

Frühling
Sommer
Herbst
Winter

Neumond
zunehmender Mond
Vollmond
abnehmender Mond

Sonnenaufgang
Mittag
Sonnenuntergang
Mitternacht

oder Kreisläufe im menschlichen Organismus:

Einatmen
Fülle
Ausatmen
Leere

Anspannungsphase = Systole (Kontraktion)
Austreibungsphase
Entspannungsphase = Diastole (Entspannung)
Füllungsphase

Nahrungseinnahme
Sättigung
Ausscheidung
Hunger

…usw…usw…

Diese Vierung entspricht auch einer typischen Wellenbewegung also Wellenberg, Wellental und der dazu gehörigen Auf-Ab-Bewegung zwischen diesen beiden Zuständen, bzw. auch einer Sinuskurve wie oben dargestellt.

Auch das Yin-Yang-Symbol zeigt diesen Kreislauf, zwei polare Punkte, die sich in zwei tropfenförmigen Übergängen befinden, also vier Elemente in einem Kreis, zwei Pole und zwei Übergänge.
Die vier Elemente u.a. in der Hermetik symbolisieren ebenfalls diese Vierung des Kreises, die zudem noch mit den vier Himmelsrichtungen gemäß den vier Tageszeiten verknüpft werden, zwei aktive und zwei passive Pole.

Und genau eine solche Doppelung von An-Aus-Zuständen findet auch in der Divisionstabelle statt, die Doppelung gerader und ungerader Zahlen des X- und Y-n-Strahls zu einem 4er Rhythmus. Diesen 4er Rhythmus kann man durch die Innenwinkelsummen der Polygone und Sternpolygone sehen.
Er ist auch an Hand der Kommawerte zu sehen, wenn man bei Quotient 2 alle Winkelsummen zusammenzählt. Jeder vierte Wert muss ein Kommawert sein.
Und es ist auch zu sehen an der Position der Teilereigenschaften selbst, nämlich an den Rändern der Divisionstabelle wo ab der vier zum ersten mal die letzte Eigenschaft zu sehen ist.

Dieser 4er-Takt ist auch grafisch sichtbar, wie zum Beispiel hier: http://tetraktys.de/geometrie-1.html#ornamentik
Ursache ist auch hier wieder die Doppelung gerader und ungerader Zahlen.


Ich stimme in allen Punkten zu, außer einem, der ist mir nicht klar.
Die "Divisionstabelle". Was ist damit gemeint.

Die Füllung eines Polygons mit weißen und schwarzen Flächen ist ja kein Naturgesetz.

In der Gleichung F=[[E/2+0,5]/2]-1, ist E die Eckenzahl eines Polygons. [] bedeutet, nimm nur den ganzzahligen Wert. Wenn F eine ungerade Zahl ist, dann ist die Polygonmitte nicht gefüllt. -> http://tetraktys.de/geometrie-1.html#ornamentik

D.h. bei wechselweiser Füllung führt zweimaliges Halbieren mit der Ganzzahlfunktion zu einem Vierertackt. Anders gesagt, wenn man über Löcher gleichen Abstands springt und zwei mal jedes Zweite auslässt, muss man über vier springen. Dass diese Regel bei Polygonen auftritt ist dann doch wieder sowas wie eine Gesetzmäßigkeit für Polygone. Die ist aber flach, denn F=[[E/2+0,5]/2]-1 ist nur diese Sprungregel.

Kann man denn die o.a. Gleichung F=[[E/2+0,5]/2]-1 auf Ordinate und Abszisse getrennt anwenden? Dann wäre das eine echte vierheitliche Struktur.

#30 Die Tetraktys ist vermutlich nichts anderes als ein Interferenzmuster von Philolaos 16.07.2017 23:26

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Die Divissionstabelle ist in erster Linie ein veranschaulichendes Diagramm, genau wie das Lambdoma auch, welches ja auch nur eine Divisionstabelle ist. Und wenn man sich mal diese Teilereigenschaften und den Vierertakt meditativ vor Augen führt, dann handelt es sich ja um nichts weiteres als um Überlagerungen und entsprechende Auslöschungen. In der Physik nennt man das Interferenz. Den Vierertakt und auch die Tetraktys mit dieser betrachte ich also als Phänomen einer Interferenz:
https://de.wikipedia.org/wiki/Interferen...Interferenz.jpg

Was ist mit Divisionstabelle gemeint:
X und Y-Zahlenstrahl entsprechen zwei unendlich kreisenden Bewegungen (Wellen), die miteinander reagieren.

Diese Wellen lassen sich sowohl als Überlagerungen von Intervallen darstellen:
http://tetraktys.de/zahlentheorie-4.html#Sieb

Oder eben als Polygone und Polygonsterne, die genau genommen eigentlich auch nur kreisenden Bewegungen entsprechen:


Diese viereckigen Überschneidungen sind ein universelles Muster, welches auch bei den einfachen Sternfiguren von Simplexe zu sehen ist und erst bei größeren n-Ecken deutlich zu Tage tritt, bei diesen großen Sternfiguren sind die 3 Teilereigenschaften optisch nicht mehr auf dem ersten Blick erkennbar:




Erst die komplexen Überlagerungen aller Teilereigenschaften erzeugen dann diese typischen Ornamente:



Diese Überlagerungen von einfachen Wellen führen sowohl zu diesem Vierertakt, der sich mit diesem Schachbrettmuster manifestiert, als auch zu diesem eigenartigen Verhalten der Menge 10 (Winkelsummen).

Dazu gibt es noch eine andere interessante Struktur, die genau das selbe Phänomen der Menge 10 zeigt, nämlich fraktale Polygone, hier muss man sich die Polygone auch als Kreise vorstellen:
http://tetraktys.de/einfuehrung-2.html#bedeutung-2






Vielleicht gibt es mit dieser Thematik auch Berührungspunkte zum einen oder anderen Kornkreis.

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