#1 Legenden und Irrtümer über den Goldenen Schnitt von W.L. 21.06.2018 10:06

Wir haben im Artikel " Der Goldene Schnitt und die Geige " bereits gezeigt, dass es schwierig ist zu behaupten der Goldene Schnitt sei uns unbewusst eingeprägt:

"Dass der Goldene Schnitt eine ästetische Proportion ist, die unserem Unbewussten einbeschrieben sein könnte, versuchte schon Theodor Fechner zu verifizieren:
Gustav Theodor Fechner, ein Begründer der experimentellen Psychologie, stellte 1876 bei Untersuchungen mit Versuchspersonen anhand von Rechtecken in der Tat eine Präferenz für den Goldenen Schnitt fest. Die Ergebnisse bei der Streckenteilung und bei Ellipsen fielen jedoch anders aus. Neuzeitliche Untersuchungen zeigen, dass das Ergebnis solcher Experimente stark vom Kontext der Darbietung abhängt. Fechner fand ferner bei Vermessungen von Bildern in verschiedenen Museen Europas, dass die Seitenverhältnisse im Hochformat im Mittel etwa 4:5 und im Querformat etwa 4:3 betragen und sich damit deutlich vom Goldenen Schnitt unterscheiden.
Ende des 20. Jahrhunderts suchte die Kunsthistorikerin Marguerite Neveux mit röntgenanalytischen Verfahren unter der Farbe von Originalgemälden, die angeblich den Goldenen Schnitt enthalten würden, vergeblich nach entsprechenden Markierungen oder Konstruktionsspuren"
. (Wikipedia/Goldener Schnitt/19. u. 20. Jh)

Das Ergebnis steht also noch aus und ein ernsthafter Beleg für die These der Goldene Schnitt sei ein Eigentum unseres Unbewussten, ist eine These. Sie kann falsch aber auch richtig sein, wir wissen es nicht.
Das wunderbare Buch "Die Kraft der Grenzen: Harmonische Proportionen in Natur, Kunst und Architektur" von György Doczi ist interessant und empfehlenswert. Aber man sollte dabei wissen, die von Doczi gezeigten Belege sind Einzelbelege. Um z. B. ernsthaft nachzuweisen, dass auch nur eine einzige Schmetterlingsart den Goldenen Schnitt ausbildet, müssten Tausende an Exemplaren vermessen werden. Das hat bisher noch niemand unternommen. Anders verhält es sich mit Architektur. Die Architekten von der Antike bis ins 19. Jh. bauten zwar oftmals in ganzen Proportionen und oftmals basierend auf pythagoreischen Überlieferungen, aber ebenso wurde auch der Goldene Schnitt angewandt.

Der Vitruvianische Mensch und der Goldene Schnitt, eine Legende
Auch die menschliche Gestalt wurde - meines Wissens - noch nirgends umfangreich vermessen. Leonardo da Vinci und Albrecht Dürer haben sich ein Leben lang mit dem Proportionen des Körpers befasst. Ein grundlegendes Werk sind die "Zehn Bücher über Architektur" des Architekten Vitruv aus dem 1. Jahrhundert v. Chr. Da Vinci bekam den Auftrag zu einer Illustration und so entstand dieses berühmte Bild des "Vitruvianischen Menschen".



Die Proportionierung des menschlichen Körpers, wie sie bei Vitruv beschrieben wird, ist jedoch eine Proportionierung in ganzen Zahlen und nicht nach dem Goldenen Schnitt. Vitruv kannte die Philosophie der Pythagoreer und sie war im ersten Jahrhundert selbstverständlich überall präsent (Neupythagoreismus). Diese Philosophie basierte auf den Proportionen, die musikalische Intervalle bilden und die sind allesamt rational, d.h. Brüche mit ganzen Zahlen in Zähler und Nenner. Dass also die Darstellung des "Vitruvianischen Menschen" den Goldenen Schnitt illustrieren sollte, ist falsch. Dennoch wird diese Legende immer wieder verbreitet und findet sich teilweise auch in akademischen Schriften.



Ich habe einige der von Da Vinci im Begleittext des Bildes angegebenen Proportionen in das Bild eingezeichnet. Man sieht, dass der Radius des Umkreises nicht dem Goldenen Schnitt 0,618... entspricht. Er ist etwas zu groß. Auch liegt das Kreiszentrum zwar über dem Nabel, aber unterhalb des Goldenen Schnitts 0,618... Und schließlich wird der Goldene Schnitt im Originaltext des Bildes nirgends erwähnt.

Albrecht Dürer "Vier Bücher von menschlicher Proportion"
Auch in Dürers Buch "Vier Bücher von menschlicher Proportion" aus dem Jahre 1528 ist voll von rationalen Proportionen mit ganzen Zahlen in Zähler und Nenner. Zum Goldenen Schnitt schreibt der Kommentator des Werkes:

"Diese Regel ("regell" aufgrund des Gesetzes der stetigen Proportion, über Die sich Dürer seit c. 1513 Gedanken machte, ist offensichtlich nicht, wie man annahm aus Luca Paciolis Goldenen Schnitt ("divina Proportio"), eines Sonderfalls der stetigen Proportion, sondern direkt von Euklid abgeleitet, den Dürer selbst an entsprechender Stelle beim Namen nennt. Die Operation ist ein idealistisches Einsprengsel in dem sonst waltenden Maß-Realismus." (Albrecht Dürer: Vier Bücher von menschlicher Proportion (1528): herausgegeben von Berthold Hinz, S. 277)

Dürer verwendete also den Goldenen Schnitt bei seinen Darstellungen, aber die Masse der Angaben sind Ganzzahlproportionen.

Der Goldene Schnitt bei Euklid Platon und der Vitruvianische Mensch: Auch der Herausgeber dieser Euklid-Ausgabe, der Franziskaner Luca Pacioli di Borgo San Sepolcro (1445–1514), der an der Universität von Perugia Mathematik lehrte, hatte sich intensiv mit dem Goldenen Schnitt befasst. Er nannte diese Streckenteilung „göttliche Teilung“, was sich auf Platons Identifizierung der Schöpfung mit den fünf platonischen Körpern bezog, zu deren Konstruktion der Goldene Schnitt ein wichtiges Hilfsmittel darstellt. Sein gleichnamiges Werk De divina proportione von 1509 besteht aus drei unabhängigen Büchern. Bei dem ersten handelt es sich um eine rein mathematische Abhandlung, die jedoch keinerlei Bezug zur Kunst und Architektur herstellt. Das zweite ist ein kurzer Traktat über die Schriften des Römers Vitruv aus dem 1. Jahrhundert v. Chr. zur Architektur, in denen Vitruv die Proportionen des menschlichen Körpers als Vorlage für Architektur darstellt. Dieses Buch enthält eine Studie von Leonardo da Vinci (1452–1519) über den vitruvianischen Menschen. Das Verhältnis von Seite des den Menschen umgebenden Quadrats zu Radius des umgebenden Kreises – nicht das Verhältnis der Proportionen des Menschen selbst – in diesem berühmten Bild entspricht mit einer Abweichung von 1,7 % dem Goldenen Schnitt, der jedoch im zugehörigen Buch gar nicht erwähnt wird. Darüber hinaus würde diese Abweichung bei einem konstruktiven Verfahren nicht zu erwarten sein.
Wikipedia/Goldener Schnitt/Renaissance

Daher ist es eine kaum einzudämmende Legende, der vitruvianische Mensch von da Vinci wäre eine Darstellung des Goldenen Schnitts, das lag nicht in der Absicht da Vincis und die Begleittexte beziehen sich auf die Ganzzahlproportionierungen Vitruvs. Das Herausmessen birgt überdies einen Fehler von 1,7%.

#2 RE: Legenden und Irrtümer über den Goldenen Schnitt von W.L. 21.06.2018 15:08

Der Goldene Schnitt ist im Timaiosdialog bei Platon (5. Jh. v. Chr.) beschrieben als diejenige Proportion, deren kleiner Teil a sich zum größeren b verhält wie dieser [größere b] zum Ganzen a+b. Daraus konnte man, seit dem Mathematiker Gleichungen aufstellen und lösen konnten die Gleichung a/b = b/(a+b) aufstellen. Daraus wiederum kann eine quadratische Gleichung der Form: b2 - a * (a+b) = 0 (b2 ist b zum Quadrat) gewonnen werden. Die beiden Lösungen lauten: b1 = 1/2 (a - sqrt(5) a) und b2 = 1/2 (sqrt(5) a + a). Setzt man für a=1, so ist b1 = (1-sqrt(5))/2 und b2 = (1+sqrt(5))/2 (Die Vorzeichen wurden weggelassen).

Fertig ist der Goldene Schnitt als Ziffernwert:
b1 nennt man den Minor, auch mit m oder g bezeichnet.
b2 nennt man den Major, auch mit M oder G bezeichnet.

Tippt man das auf einem Taschenrechner ein, so erhält man die Dezimaldarstellungen g = 0,61803399 ... und G = 1,61803399 ...
Komisch ist das! g und G unterscheiden sich nicht in den Nachkommastellen!

Diese Eigenschaft wird naiverweise sofort als einzigartige Eigenschaft des Goldenen Schnitts deklariert und das sind leider falsch!

Richtig ist dass es unendlich viele solcher Zahlen gibt.

Z.B.
Wurzel(2)-1 = 0,414213562 und Wurzel(2)+1 =2, 414213562
WURZEL(13)/2 - 1,5 = 0,302775638 und WURZEL(13)/2 + 1,5 = 3,302775638

Weitere Zahlen dieser Art und die Herleitung aus der allgemeinen Gleichung zweiter Ordnung sind im Bild zu sehen.



Alle diese Zahlen sind irrationale Zahlen und die Dezimalfolgen wiederholen sich nie.

#3 RE: Legenden und Irrtümer über den Goldenen Schnitt von W.L. 21.06.2018 15:56

Der Goldene Schnitt und die "Goldene Spirale"

Die aus dem Timaiosdialog gewonnenen Größen lassen sich auch als "Goldenes Rechteck" darstellen.



Dieses "Goldene Rechteck" (Die Umfassungslinien) hat die Breite 1 und die Höhe G = 1,618 ...
Schneidet man jeweis von oben, dann von links, von unten, von rechts und wieder von oben je ein Quadrat weg, so kann man das bis in die Unendlichkeit weiter tun, es entsteht immer ein "Goldenes Rechteck". Die Seitenlängen der abgeschnittenen Quadrate sind Potenzen von g.

Die "Goldene Spirale" und die Nautilusmuschel
Zeichnet man in jedes Quadrat einen Viertelkreis ein, so kann man sehen, dass eine Spirale entsteht (Siehe Bild oben). Das ist natürlich eine Annäherung an eine Spirale durch Viertelkreise. Die wirkliche Spirale ist eine logarithmische Spirale mit konstanter Steigung und das Zentrum der Spirale habe ich auch eingezeichnet.

Oftmals wird eine Nautilusmuschel über diese "Goldene Spirale" gelegt, um zu zeigen, dass die Natur sich am Goldene Schnitt orientiert. Das ist leider falsch!



Man kann deutlich sehen, dass die Muschel gar nicht dran denkt, sich in das "Goldenes Rechteck" einzufügen. Das sollte sie aber tun, wenn sie wie eine "Goldene Spirale" wachsen soll.

Bei Spektrum der Wissenschaft schreibt man dazu: logarithmischen Spiralen findet man häufig in der Natur, etwa in Schneckenhäusern oder bei Muscheln. Dies liegt hauptsächlich daran, daß jede logarithmische Spirale eine gewisse Selbstähnlichkeit besitzt: Unter geeigneten Drehstreckungen bleibt sie invariant. Es ist nicht klar, ob ausgerechnet die Goldene Spirale oder die spira mirabilis besonders häufig in der Natur vorkommen.
Spektrum.de/Lexikon/Mathematik/der Goldene Schnitt

Diese Drehstreckungen sind nichts weiter als der Ausdruck eines prozentualen Wachstums. Jeder Organismus wächst jeweils prozentual zur aktuellen Größe, bis er ausgewachsen ist und das ergibt im Falle von Muscheln logarithmische Spiralen. Es ist wie mit einem verzinsten Sparkonto.

Spiralnebel, Tornados und der Badewannenabfluss
Bei den Spiralnebeln weiß man noch kaum, wie sie sich bilden und welche Kräfte (Dunkle Materie) wirksam sind.
Siehe auch:
Vom Urknall zu den heutigen Galaxien
Alpha Centauri
Das Elektrische Universum
Rendern einer Galaxie auf Basis der Dichtewellentheorie



Tornados bilden ebenfalls Wirbel aus, wie etwa ein Badewannenabfluss.



Es sind jedoch in keinem dieser Fälle "Goldene Spiralen", sondern logarithmische Spiralen. Die Goldene Spirale ist ein Sonderfall der logarithmische Spiralen. Es gibt keine physikalischen Eigenschaften, die die Goldene Spirale auszeichnen würde. Die Natur bevorzugt sie nicht bei der Wirbelbildung.


... diese Strömung ist als "Badewannenabfluss" bekannt ... die Stromlinien [sind] logarithmische Spiralen ...
Strömungslehre: Einführung in die Theorie der Strömungen
von Joseph Spurk, Nuri Aksel, S.389

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