Es ist eine Zahlenfolge, deren aufeinanderfolgende Quotienten alle Wurzelzahlen (irrationale Zahlen 2. Ordnung) beliebig genau annähert. Diese Zahlenfolge fand ich im Inneren des Quadrats. Hier die Ziffernfolge für k=2: (1,0),(1,1),(3,2),(7,5),(17,12),(41,29),(99,70),(239,169),(577,408),(1393,985) Die letzten beiden Ziffern der zehnten Gruppe (i=10,11) (1393/985) = 1,414213 19 ... nähert den exakten Wert von Wurzel(2) schon bis auf sechs Nachkommastellen an. Genauerer Wert: Wurzel(2)=1,414213 56 ...
Der Algorithmus in anschaulicher Form.
Es handelt sich hier um eine Variante der Fibonaccizahlen, die den Wert des Goldenen Schnitts annähern. Die Fibonaccireihe ist leicht zu bilden, denn man muss lediglich bei 0 und 1 beginnen. Nun addiert man 0+1=1 und erhält den nächsten Wert 1. Wir haben also 0,1,1. Nun addiert man wieder die letzten beiden Werte 1+1=2 und hat den nächsten Wert 0,1,1,2. Man kann das unendlich fortführen und erhält so die Fibonaccireihe: 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89, ... 55/89=0,6179. Der exakte Wert des Goldenen Schnitts liegt bei g=0,618034 ... Je mehr Reihenglieder man berechnet, umso genauer liegt der Wert bei g, dem Goldenen Schnitt. Man kann den Bildungsalgorithmus dieser Zahlenfolge auch so anschreiben: F(i+1)=Fi + Fi-1. (i ist Index der Reihenglieder, (i+1) ist das jeweilige Folgeglied)
Nun kann man dieses Vorgehen variieren. Man fängt mit einem Wertepaar (X0,Y0) an: (1,0) Die X-Werte erhält man durch Addieren des ersten Wertepaares (X+2*Y), wobei der Y Wert immer mit k=2 malgenommen wird. Die Y-Werte erhält man durch einfaches Addieren der Vorgänger (X+Y). Man kann den Bildungsalgorithmus dieser Zahlenfolge auch so anschreiben: X(i+1)=Xi+2*Yi und Y(i+1)=Xi+Yi (i ist Index der Reihenglieder, (i+1) ist das jeweilige Folgeglied)
So erhält man diese oben schon gezeigte Reihe. Die Klammern verbessern die Übersicht. (1,0);(1,1);(3,2);(7,5);(17,12);(41,29); ... Die bloße Reihe sieht so aus: k=2: 1,0,1,1,3,2,7,5,17,12,41,29,99,70,239,169,577,408,1393,985
Damit lassen sich alle Wurzelwerte Wurzel(k) für k={2,3,4, ...} durch eine Reihe von Quotienten annähern. Eigentlich eine Variation der Fibonaccireihe.
Gefunden habe ich diese recht simplen Reihen in der Villarschen Figur. Diese Entdeckung wurde am 20 Mai 2009 bestätigt, siehe dort: http://oeis.org/A160572
Die Villardsche Figur in der Geschichte der Baukunst
Der »Villardsche Teilungskanon« ist eines der meistpraktizierten frühgotischen Schemata zur geometrisch exakten, in Form, Proportion und Ästhetik ausgewogenen Teilung von rechteckigen Flächen. Dieses auch als »Villardsche Figur« oder als »Villardsches Diagramm« bekannte geometrische Schema stammt aus der ersten Hälfte des 13. Jahrhunderts und wurde nach dem Dombaumeister Villard (um 1230–1235) aus Honnecourt-sur-l’Escault, einem Dorf nahe Cambrai in der nordfranzösischen Picardie, benannt. Quelle: http://www.typolexikon.de/villardscher-teilungskanon/
Dieses Zitat zeigt, dass die Vilardsche Figur bei Virtuv (1. Jh. v. Chr.) bereits bekannt war.
Dieses Bild zeigt eine weitere knautsche Figur im Innenachteck und die Maße. Waagerechtes Maß 0,142857 ... = 1/7, senkrechtes Maß 0,2 = 1/5
Das dritte Bild zeigt eine weitere geschachtelte Figur und seine Maße Waagerechtes Maß 1/12, senkrechtes Maß 1/17
Das vierte Bild zeigt eine weitere geschachtelte Figur und seine Maße Waagerechtes Maß 1/41, senkrechtes Maß 1/29
Ich habe nun versucht, aus den Reziproken der Maßreihen eine Reihe zu bilden und fand bald das oben angegebene Schema in Anlehnung an die Fibonaccireihe.
Der Bildungsalgorithmus für k=2: Xi+1=Xi+2*Yi und Yi+1=Xi+Yi So erhält man diese oben schon gezeigte Reihe: (1,0);(1,1);(3,2);(7,5);(17,12);(41,29); ...
Für k=3 erhält man eine Reihe, welche den Wert Wurzel(3) annähert. Der Bildungsalgorithmus für k=3: Xi+1=Xi+3*Yi und Yi+1=Xi+Yi (1,0);(1,1);(4,2);(10,6);(28,16);(76,44);(208,120);(558,328);(1552,896); ... Der letzte Quotient 1552/896 = 1,732 1 ... nähert den Wert Wurzel(3) = 1,732 05 ... bereits mit drei nachkommastellen Genauigleit an. Die Genauigkeit wird größer, je länger die Ziffernreihe wird. Man kann damit beliebig genaue Quotienten finden, welche die Werte Wurzel(k) annähern.
Auf diese Weise kann man für jeden beliebigen Wurzelwert Wurzel(k), wenn k eine ganze Zahl ist, eine Ziffernreihe bilden, deren Quotienten den Wert annähern.
Diese Abbildung zeigt, wie schnell der Näherungsalgorithmus ist. Es steht zu vermuten, dass sich diese Reihen mit maximaler Geschwindigkeit dem exakten Wert nähern, weil die Fibonaccireihe diese Eigenschaft bezüglich des Goldenen Schnitts aufweist und weil die Reihen verwandt sind.
Da diese Reihen zunächst einmal gemessen waren, musste ich beweisen, dass diese Zahlen tatsächlich exakt entstehen. Dieser geometrische Beweis ist nicht mehr so einfach, aber er gelang. Der Korrektor von http://oeis.org, (R. J. Mathar) fügte netterweise einen einfacheren analytischen Beweis an und genehmigte die Einreichung.
Mr. R. J. Mathar fand außerdem: Each of the two subsequences b(n) obtained by bisection has a limiting ratio b(n+1)/b(n)=1+sqrt(k) by Binet's Formula.
Das Quadrat birgt außerordentliche Geheimnisse die, über zweitausend Jahre lang in der Villardschen Figur, bei Vitruv (1. Jh. v. Chr.) erstmals erwähnt, verborgen lagen.
Wie kam ich zur Villardschen Figur ?
Die Anregung durch Klopfen einer mit Pulver bestreuten quadratischen Platte, welche in der Mitte gelagert ist, ergibt zwei Sternfiguren. Diese beiden Sternfiguren übereinandergelegt ergeben die Villadrsche Figur. Im Bild, der hellblaue Stern, ergibt sich durch Anregung an den Ecken. Der dunkelblaue Stern ergibt sich durch Anregung an den Seiten.
Die Villardsche Figur ist also eine natürliche Schwingung, zusammengesetzt aus den beiden Schwingungsformen (Hauptmoden) des Quadrats.
Die Villardsche Figur in der Alchemie
In der Mitte, rechts ist die Villardsche Figur mit einbeschriebenen Zeichen der alchemistischen Metalle zu sehen.
Bei Giordano Bruno (1548-1600), die Figur des Geistes, eine unvollständige Villardsche Figur.
Hans Kayser Hans Kayser (1891-1964), Begründer der modernen Harmonik, befasste sich mit dieser Figur. Siehe auch: Hans Kayser, Wiederentdecker der Harmonik Kayser erfasste jedoch nicht alle Intervallproportionen, die in der Figur enthalten sind.
Unsere Musik ist in der Villardschen Figur verborgen
Hier sind alle Abstände, zwischen den Schnittpunkten der Villardschen Figur verzeichnet.
Hier sind alle Kombinationen (Intervallverhältnisse) der Abstände, die in der Villardschen Figur vorkommen.
Die Villardsche Figur, ein Monument der diatonischen Tonleiter
Die Intervalle (grüner Haken) der diatonischen Tonleiter sind als zusammenhängende Gerade zwischen zwei Punkten der Villardschen Figur enthalten. Ausnahme ist der kleine diatonische Halbton (15:16), Umkehrung des großen diatonischen Halbtons (15:8). Das Fis wird als Reihengrenzwert (Wurzel(2), gleichstufiger Tritonus), bzw. durch die Näherung (5:7 Huygens’ Tritonus) im inneren Achteck aufgefunden.
Die Tabelle oben enthält ausschließlich Werte von Intervallen der diatonischen Tonleiter (Quinten-Terzen-Sytem). Die Villardsche Figur ist geometrisches Abbild der diatonischen Tonleiter. Diese ist die Repräsentantin des Quint-Terz-Systems unserer Musik. Hier findet dieses System seine natürliche Entsprechung. Es ist also keineswegs so, dass das Quint-Terzen-System eine freie Erfindung der Musiker wäre. Es findet sich auch in der Natur des Quadrates. Das Quadrat birgt gewissermaßen das musikalische System der abendländischen Musik.
Trennt man die linken von den rechten Partnern der Wertepaare in eigene Reihen auf, so haben diese den gleichen Grenzwert (Wurzel(n)+1). Der Quotient zweier entfernter Partner führt auf Potenzen des Grenzwertes. Eine ähnliche Eigenschaft hat auch die Fibonacci-Reihe. Die Zahl der Zwischenglieder z bestimmt die Potenz p = (z+1) des Grenzwerts (Wurzel(n)+1)^p. Ausmultiplizieren mithilfe des pascalschen Dreiecks.
Anmerkung: Die Grenzwerte der ganzzahligen Reihen sind die Quadratwurzeln (irrationale Zahlen 2. Ordnung). Mit ihnen und den Bruchzahlen (rationale Zahlen) lassen sich alle mit Zirkel und Lineal konstruierbaren Aufgaben lösen. Damit rückt diese Geometrie in den Bereich der rationalen Zahlen (Bruchzahlen), wenn auch nur über den Weg der Iteration.
Algebraische Operationen Mit Zirkel und Lineal kann man mit graphisch vorgegebenen oder bereits konstruierten reellen Zahlen die folgenden elementaren algebraischen Operationen ausführen (das heißt, deren Ergebnis in der Darstellung auf dem Zahlenstrahl konstruieren):
die Addition zweier Zahlen (Konstruktion einer Summe), die Subtraktion zweier Zahlen (Konstruktion einer Differenz), die Multiplikation zweier Zahlen (Konstruktion eines Produktes), die Division einer Zahl durch eine von Null verschiedene Zahl (Konstruktion eines Quotienten), das Quadratwurzelziehen aus einer nichtnegativen Zahl (Konstruktion einer Quadratwurzel).
Bewusst-Sein
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04.01.2017 11:40 (zuletzt bearbeitet: 06.04.2024 19:24)
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