Das Ikosaeder und das Dodekaeder sind zwei der fünf platonischen Körper.
Ikosaeder https://de.wikipedia.org/wiki/Ikosaeder#...on-slowturn.gif
Dodekaeder https://de.wikipedia.org/wiki/Dodekaeder...on-slowturn.gif

Das Ikosaeder und Dodekaeder sind polar.
Ecken und Flächemnmitten liegen jeweils übereinander, so dass man sie ineinanderschieben kann.

Das Dodekaeder (blau), das Ikosaeder(gelb)
bilden einen Sternkörper.
Der hat wieder einen Hüllkörper das Triakontaeder. Die Kanten (rot) laufen von Ecke zu Ecke.

Dodekaeder: https://de.wikipedia.org/wiki/Dodekaeder
Ikosaeder: https://de.wikipedia.org/wiki/Ikosaeder
Der Hüllkörper Triakontaeder: https://de.wikipedia.org/wiki/Rhombentriakontaeder
Der Kern, wenn alle Spitzen weg geschnitten werden ist das Ikosidodekaeder: https://de.wikipedia.org/wiki/Ikosidodekaeder

Erstaunlich sind die Volumenproportionen

Nimmt man das Dodekaedervolumen zu vier Einheiten von (phi/2+1)
so haben die Volumen von Dodekaeder : Sternkörper : Hüllkörper,
das Ganzzahlverhältnis 4 : 5 : 16
Auf einem Monochord eingestellt ergeben diese Proportionen die folgenden Töne der diat. Tonleiter
C - E - C''

Diese Einheiten sind phi/2+1, wobei phi=0,618…, der Minor des Goldenen Schnitts ist.

Das Ikosaeder nimmt an diesen Proportionen nicht ganzzahlig teil. Die Proportion 4:5 (Große Terz) ist harmonikal nicht verwunderlich, weil Ikosaeder und Dodekaeder in ihrem Proportionen auf dem Goldenen Schnitt beruhen und der wiederum resultiert aus einer Symmetrie des Pentagons (regelmäßiges Fünfeck). Daher ist das Auftreten der Zahl Fünf nur ein Aspekt dieser 5er Symmetrie.

Verwundert hat mich die Tatsache, dass Ganzzahlproportionen in diesen hochgradig komplexen Gebilden auftauchen!

Die Durchdringung von Ikosaeder und Dodekaeder haben als Kern den Ikosidodekaeder und der hat den Eckenraumwinkel 2Pi
https://de.wikipedia.org/wiki/Ikosidodekaeder